Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Un inversor tiene un dinero invertido en un fondo de inversión muy volátil. El valor de su inversión en euros durante un día determinado viene dado por la función

$f(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{35x^2}{2} + 300x + 250,$

donde $x \in [0, 24]$ representa el tiempo en horas.

a) Calcule el valor inicial de la inversión al empezar el día y determine qué beneficio o pérdida habrá tenido al cabo de 24 horas. Encuentre también a qué hora del día el valor de la inversión ha sido máximo y cuál era este valor máximo. [1,5 puntos]
b) ¿Hay algún momento del día en que el valor de la inversión sea negativo? ¿Cuál es el valor mínimo que alcanza? [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el valor inicial de la inversión al empezar el día y determine qué beneficio o pérdida habrá tenido al cabo de 24 horas. Encuentre también a qué hora del día el valor de la inversión ha sido máximo y cuál era este valor máximo. (1,5 puntos)}$

El valor inicial y el valor al final del día se obtienen evaluando la función en los extremos del intervalo.

$f(0)=250$

$f(24)=\dfrac{24^3}{3}-\dfrac{35\cdot24^2}{2}+300\cdot24+250=4608-10080+7200+250=1978$

$f(24)-f(0)=1978-250=1728$

de manera que al cabo de las veinticuatro horas hay beneficio, no pérdida. Para localizar el máximo derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=x^2-35x+300$

$x=\dfrac{35\pm\sqrt{1225-1200}}{2}=\dfrac{35\pm5}{2} \Rightarrow x=15 \ \text{ o } \ x=20$

$f'(x)=(x-15)(x-20)$



La función crece hasta la hora $15$, decrece entre las horas $15$ y $20$ y vuelve a crecer hasta el final, así que en $x=15$ hay un máximo relativo.

$f(15)=1125-3937{,}5+4500+250=1937{,}5$

Pero el máximo absoluto en $[0,24]$ hay que buscarlo comparando ese máximo relativo con el valor en el extremo derecho, porque la función vuelve a subir después de la hora $20$:

$f(15)=1937{,}5<f(24)=1978$

La inversión empieza el día valiendo 250 € y lo acaba valiendo 1 978 €, con un beneficio de 1 728 €. El valor más alto se alcanza justo al final del día, a las 24 horas, y es de 1 978 €; el máximo relativo intermedio, a las 15 horas, se queda en 1 937,50 €.

$\textbf{b) ¿Hay algún momento del día en que el valor de la inversión sea negativo? ¿Cuál es el valor mínimo que alcanza? (1 punto)}$

Con el estudio del signo de la derivada del apartado anterior ya sabemos dónde puede estar el valor más bajo: o en el mínimo relativo $x=20$, o en el extremo izquierdo del intervalo, que es donde arranca el primer tramo creciente.

$f(20)=\dfrac{8000}{3}-7000+6000+250=\dfrac{5750}{3}\approx1916{,}67$

$f(0)=250$

$250<1916{,}67$

El mínimo absoluto es, pues, el valor inicial. Como ese mínimo es positivo y la función es continua, el valor de la inversión es positivo durante todo el día.

En ningún momento del día el valor de la inversión llega a ser negativo: el valor mínimo es el del comienzo del día, 250 €, y el mínimo relativo intermedio, a las 20 horas, vale $\dfrac{5750}{3}\approx1\,916{,}67$ euros.