Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 3. Análisis.
Después de t horas de funcionamiento el rendimiento de una máquina (en una escala de 0 a 100) viene dado por la función $r(t) = \dfrac{kt}{t^2 + 4}$ con t > 0

a) Calcule K sabiendo que el rendimiento a las 4 horas es de 76.
b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento del rendimiento durante las 7 primeras horas de funcionamiento.
c) ¿En qué momento se consigue el rendimiento máximo?, ¿Cuál es su valor?

$\textbf{a) Calcule K sabiendo que el rendimiento a las 4 horas es de 76.}$

Basta con imponer la condición $r(4) = 76$ y despejar.

$r(4) = \dfrac{4k}{4^2 + 4} = \dfrac{4k}{20} = \dfrac{k}{5}$

$\dfrac{k}{5} = 76 \Rightarrow k = 380$

El valor del parámetro es $k = 380$, de modo que $r(t) = \dfrac{380t}{t^2+4}$.

$\textbf{b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento del rendimiento durante las 7 primeras horas de funcionamiento.}$

Derivamos aplicando la regla del cociente.

$r'(t) = \dfrac{380(t^2+4) - 380t \cdot 2t}{(t^2+4)^2} = \dfrac{380(4 - t^2)}{(t^2+4)^2}$

$r'(t) = 0 \Rightarrow 4 - t^2 = 0 \Rightarrow t = \pm 2$

Se descarta la solución negativa porque el enunciado exige $t > 0$. El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $4 - t^2$.

$\begin{cases} \text{Si } t = 1, \quad 4 - 1 = 3 > 0 \\ \text{Si } t = 3, \quad 4 - 9 = -5 < 0 \end{cases}$



El rendimiento crece durante las dos primeras horas de funcionamiento y decrece desde la segunda hasta la séptima.

$\textbf{c) ¿En qué momento se consigue el rendimiento máximo?, ¿Cuál es su valor?}$

Por el apartado anterior la función pasa de crecer a decrecer en $t = 2$, luego ahí hay un máximo.

$r(2) = \dfrac{380 \cdot 2}{2^2 + 4} = \dfrac{760}{8} = 95$

El rendimiento máximo se consigue a las 2 horas de funcionamiento y su valor es de 95 sobre 100.