Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

$\textbf{Opción B}$

La tabla siguiente recoge el número de estudiantes de grado (G), máster (M) y doctorado (D) matriculados en las tres facultades —Ciencias (C), Ingeniería (E) y Letras (L)— de una pequeña universidad.

$\textit{Facultad}$	$\textit{Grado (G)}$	$\textit{Máster (M)}$	$\textit{Doctorado (D)}$	$\textit{Total}$ Ciencias (C)	450	172	41	663 Ingeniería (E)	445	178	45	668 Letras (L)	438	183	48	669 Total	1.333	533	134	2.000

a) Si escogemos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de máster de la Facultad de Ciencias? Si escogemos al azar un estudiante de la Facultad de Ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que curse un máster? [1,25 puntos]
b) Sabemos que, en total, hay 1.036 estudiantes que disfrutan de una beca. También sabemos que, si consideramos conjuntamente los estudiantes de grado y máster, la mitad están becados, y que hay el mismo número de estudiantes becados de máster que de doctorado. Determine cuántos estudiantes becados hay de cada nivel educativo (grado, máster y doctorado). [1,25 puntos]

$\textbf{Opción B. a) Si escogemos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de máster de la Facultad de Ciencias? Si escogemos al azar un estudiante de la Facultad de Ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que curse un máster? (1,25 puntos)}$

La tabla del enunciado es una tabla de contingencia, así que las dos probabilidades se obtienen con la regla de Laplace cambiando el conjunto de referencia.

La primera es la de la intersección «máster» y «Ciencias» sobre el total de la universidad.

$P(M\cap C)=\dfrac{172}{2000}=0{,}086$

En la segunda el total pasa a ser la fila de la Facultad de Ingeniería, porque ya sabemos que el estudiante es de allí.

$P(M\mid E)=\dfrac{n(M\cap E)}{n(E)}=\dfrac{178}{668}\approx0{,}2665$

La probabilidad de que un estudiante escogido al azar curse un máster en Ciencias es $0{,}086$, un $8{,}6\%$; y dentro de la Facultad de Ingeniería, la probabilidad de que un estudiante curse máster es de un $26{,}65\%$ aproximadamente.

$\textbf{b) Determine cuántos estudiantes becados hay de cada nivel educativo (grado, máster y doctorado). (1,25 puntos)}$

Llamamos $g$, $m$ y $d$ al número de becados de grado, de máster y de doctorado. Cada dato del enunciado da una ecuación.

El total de becados:

$g+m+d=1036$

La mitad de los estudiantes de grado y máster juntos están becados; de la tabla, esos estudiantes son $1333+533=1866$:

$g+m=\dfrac{1866}{2}=933$

Y hay tantos becados de máster como de doctorado:

$m=d$

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera se obtiene directamente el número de becados de doctorado:

$933+d=1036 \Rightarrow d=103$

$m=d=103 \qquad g=933-103=830$

Comprobamos que las tres condiciones se cumplen: $830+103+103=1036$, $830+103=933$ y $m=d$.

Hay $830$ estudiantes becados de grado, $103$ de máster y $103$ de doctorado.