Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

$\textbf{Opción A}$

La tabla siguiente recoge el número de estudiantes de grado (G), máster (M) y doctorado (D) matriculados en las tres facultades —Ciencias (C), Ingeniería (E) y Letras (L)— de una pequeña universidad.

$\textit{Facultad}$	$\textit{Grado (G)}$	$\textit{Máster (M)}$	$\textit{Doctorado (D)}$	$\textit{Total}$ Ciencias (C)	450	172	41	663 Ingeniería (E)	445	178	45	668 Letras (L)	438	183	48	669 Total	1.333	533	134	2.000

a) Si escogemos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de doctorado de la Facultad de Letras? Si escogemos al azar un estudiante que cursa un máster, ¿cuál es la probabilidad de que estudie en la Facultad de Ingeniería? [1,25 puntos]
b) Exprese la información de la tabla (sin los totales) mediante una matriz $3 \times 3$ y calcule, utilizando un producto de matrices, el vector con el número total de estudiantes de grado, máster y doctorado de la universidad. Sabemos que los estudiantes de grado pagan 1.000 € de matrícula; los de máster, 1.500 €, y los de doctorado, 500 €. Por medio de un producto de matrices, calcule el importe total que ingresa la universidad en concepto de matrículas. [1,25 puntos]

$\textbf{Opción A. a) Si escogemos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de doctorado de la Facultad de Letras? Si escogemos al azar un estudiante que cursa un máster, ¿cuál es la probabilidad de que estudie en la Facultad de Ingeniería? (1,25 puntos)}$

La tabla es una tabla de contingencia, así que las probabilidades se leen como cocientes de recuentos, aplicando la regla de Laplace.

La primera pregunta es la de un suceso intersección, «doctorado» y «Letras», sobre el total de estudiantes de la universidad.

$P(D\cap L)=\dfrac{48}{2000}=0{,}024$

La segunda es una probabilidad condicionada: el total deja de ser la universidad entera y pasa a ser la columna de los estudiantes de máster.

$P(E\mid M)=\dfrac{n(E\cap M)}{n(M)}=\dfrac{178}{533}\approx0{,}3340$

La probabilidad de que un estudiante escogido al azar sea de doctorado y de Letras es $0{,}024$, es decir, un $2{,}4\%$; y entre los que cursan máster, la probabilidad de que estudien en Ingeniería es de un $33{,}4\%$ aproximadamente.

$\textbf{b) Exprese la información de la tabla (sin los totales) mediante una matriz }\boldsymbol{3\times3}\textbf{ y calcule, utilizando un producto de matrices, el vector con el número total de estudiantes de grado, máster y doctorado de la universidad. Por medio de un producto de matrices, calcule el importe total que ingresa la universidad en concepto de matrículas. (1,25 puntos)}$

Ponemos en las filas las tres facultades y en las columnas los tres niveles.

$M=\begin{pmatrix} 450 & 172 & 41 \\ 445 & 178 & 45 \\ 438 & 183 & 48 \end{pmatrix}$

Sumar cada columna equivale a multiplicar por la izquierda por una fila de unos, que es lo que hace el producto de matrices.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot M=\begin{pmatrix} 1333 & 533 & 134 \end{pmatrix}$

Esos son los totales de estudiantes de grado, máster y doctorado, y coinciden con la última fila de la tabla del enunciado.

El importe de las matrículas se obtiene multiplicando ese vector fila por el vector columna de los precios.

$\begin{pmatrix} 1333 & 533 & 134 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1000 \\ 1500 \\ 500 \end{pmatrix}=1333\cdot1000+533\cdot1500+134\cdot500$

$1\,333\,000+799\,500+67\,000=2\,199\,500$

La universidad tiene $1\,333$ estudiantes de grado, $533$ de máster y $134$ de doctorado, e ingresa 2 199 500 € en concepto de matrículas.