Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Una empresa de telecomunicaciones considera que una página web es eficiente si su tiempo de carga es inferior a 3 segundos. La empresa afirma que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes. Para comprobar esta afirmación, seleccionamos una muestra aleatoria de $n = 2.500$ páginas web gestionadas por esta empresa.

Fórmulas para resolver el ejercicio:
— $Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ y $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$
— Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma \in (0, 1)$:
· para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p - z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p + z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$
· para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x - z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x + z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$
· para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x - z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x + z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Supongamos que, cada vez que seleccionamos una página web para la muestra, esta puede ser eficiente (o no serlo) con una probabilidad $p = 0{,}5$ y que el hecho de que una página sea eficiente (o no) es independiente del hecho de que el resto de páginas lo sean (o no). Consideremos la variable aleatoria $X$, que cuenta el número de páginas, de entre las 2.500 de la muestra, que son eficientes. ¿Qué distribución tiene la variable $X$? Calcule la probabilidad de que como mucho 1.299 páginas sean eficientes. Para hacerlo, utilice la aproximación por la distribución normal sin hacer la corrección por continuidad. [1,25 puntos]
b) En la muestra de $n = 2.500$ páginas web, hemos obtenido una media muestral del tiempo de carga de $\bar x = 2{,}95$ segundos y una desviación típica muestral de $s = 0{,}38$ segundos. Suponga que el tiempo de carga de las páginas web sigue una distribución normal. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de carga de las páginas web que gestiona la empresa. A partir del intervalo obtenido, ¿qué podemos decir sobre la afirmación de la empresa de que al menos el 50 % de las páginas web que gestiona son eficientes? [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Qué distribución tiene la variable }\boldsymbol{X}\textbf{? Calcule la probabilidad de que como mucho 1.299 páginas sean eficientes. Para hacerlo, utilice la aproximación por la distribución normal sin hacer la corrección por continuidad. (1,25 puntos)}$

Cada página examinada es eficiente o no lo es, con la misma probabilidad $p=0{,}5$ y de manera independiente de las demás. Repetir ese experimento $n=2\,500$ veces y contar los éxitos es exactamente una distribución binomial.

$X\sim B(2500;\,0{,}5)$

Con $n$ tan grande, la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica.

$\mu=np=2500\cdot0{,}5=1250$

$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{2500\cdot0{,}5\cdot0{,}5}=\sqrt{625}=25$

$X\approx N(1250;\,25)$

Tipificamos el valor $1\,299$, sin corrección por continuidad, como indica el enunciado:

$z=\dfrac{1299-1250}{25}=\dfrac{49}{25}=1{,}96$

$P(X\le1299)=P(Z\le1{,}96)$

El dato del enunciado da $P(-1{,}96\le Z\le1{,}96)=0{,}95$; por la simetría de la normal, en cada cola queda la mitad de lo que sobra.

$P(Z>1{,}96)=\dfrac{1-0{,}95}{2}=0{,}025$

$P(Z\le1{,}96)=1-0{,}025=0{,}975$



La variable $X$ sigue una binomial $B(2500;\,0{,}5)$, que se aproxima por una $N(1250;\,25)$, y la probabilidad de que como mucho $1\,299$ páginas sean eficientes es $0{,}975$.

$\textbf{b) Construya un intervalo de confianza del 95\% para el tiempo medio de carga de las páginas web que gestiona la empresa. A partir del intervalo obtenido, ¿qué podemos decir sobre la afirmación de la empresa de que al menos el 50\% de las páginas web que gestiona son eficientes? (1,25 puntos)}$

La muestra es grande y la varianza poblacional es desconocida, así que se usa la tercera fórmula del enunciado con la desviación típica muestral. Para un nivel de confianza del $95\%$ el valor crítico es $z_{\gamma}=1{,}96$.

$\left[\bar x-z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt n},\ \bar x+z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt n}\right]$

$\dfrac{s}{\sqrt n}=\dfrac{0{,}38}{\sqrt{2500}}=\dfrac{0{,}38}{50}=0{,}0076$

$1{,}96\cdot0{,}0076=0{,}014896$

$\left[2{,}95-0{,}0149,\ 2{,}95+0{,}0149\right]=\left[2{,}9351,\ 2{,}9649\right]$

El intervalo entero queda por debajo de $3$ segundos, de modo que con una confianza del $95\%$ el tiempo medio de carga es inferior a $3$ segundos. Como el enunciado supone que ese tiempo sigue una distribución normal, y la normal es simétrica respecto de su media, la mitad de las páginas tarda menos que la media; si la media es menor que $3$ segundos, más de la mitad de las páginas cargan en menos de $3$ segundos.

El intervalo de confianza del $95\%$ para el tiempo medio de carga es $[2{,}9351;\ 2{,}9649]$ segundos, y los datos respaldan la afirmación de la empresa: más del $50\%$ de sus páginas web son eficientes.