Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un agricultor produce diferentes tipos de frutas: fresas, albaricoques y cerezas, que se venden en cajas a precios diferentes. Sabemos que un pedido de 5 cajas de fresas, 3 de albaricoques y 4 de cerezas tiene un coste total de 120 €. Por otra parte, un pedido de 2 cajas de fresas, 1 de albaricoques y 3 de cerezas tiene un coste total de 56 €.

a) Calcule el precio de una caja de fresas y el precio de una caja de albaricoques en función del precio de una caja de cerezas. Con esta información, calcule cuál es el precio de un pedido de 6 cajas de fresas, 4 de albaricoques y 2 de cerezas. [1,5 puntos]
b) Si sabemos que el precio de una caja de albaricoques es de 12,50 €, calcule cuál es el precio de las otras dos cajas de fruta. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el precio de una caja de fresas y el precio de una caja de albaricoques en función del precio de una caja de cerezas. Con esta información, calcule cuál es el precio de un pedido de 6 cajas de fresas, 4 de albaricoques y 2 de cerezas. (1,5 puntos)}$

Llamamos $F$, $A$ y $C$ al precio, en euros, de una caja de fresas, de albaricoques y de cerezas, respectivamente. Los dos pedidos del enunciado dan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.

$\left.\begin{array}{r} 5F+3A+4C=120 \\ 2F+A+3C=56 \end{array}\right\}$

Como hay una incógnita más que ecuaciones, el sistema es compatible indeterminado y se resuelve dejando $C$ como parámetro. Multiplicamos la segunda ecuación por $3$ y le restamos la primera para eliminar $A$.

$6F+3A+9C=168$

$(6F+3A+9C)-(5F+3A+4C)=168-120 \Rightarrow F+5C=48$

$F=48-5C$

Sustituimos en la segunda ecuación para despejar $A$:

$A=56-2(48-5C)-3C=56-96+10C-3C=7C-40$

Ahora el pedido que se pide se calcula con esas expresiones:

$6F+4A+2C=6(48-5C)+4(7C-40)+2C$

$288-30C+28C-160+2C=128$

Los términos en $C$ se cancelan, de modo que el precio no depende del valor del parámetro: el precio de una caja de fresas es $48-5C$ euros, el de una de albaricoques es $7C-40$ euros y el pedido de 6 cajas de fresas, 4 de albaricoques y 2 de cerezas cuesta 128 € sea cual sea el precio de las cerezas.

$\textbf{b) Si sabemos que el precio de una caja de albaricoques es de 12,50 euros, calcule cuál es el precio de las otras dos cajas de fruta. (1 punto)}$

Basta imponer ese dato en la expresión de $A$ obtenida en el apartado anterior y deshacer el camino.

$7C-40=12{,}5 \Rightarrow 7C=52{,}5 \Rightarrow C=7{,}5$

$F=48-5\cdot7{,}5=48-37{,}5=10{,}5$

Comprobamos los dos pedidos del enunciado: $5\cdot10{,}5+3\cdot12{,}5+4\cdot7{,}5=120$ y $2\cdot10{,}5+12{,}5+3\cdot7{,}5=56$.

Una caja de fresas cuesta 10,50 € y una caja de cerezas, 7,50 €.