Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} x & y & x \\ y & 0 & y \\ 1 & z & z \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} a & 2 & 3 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Determine los valores x, y, z para los cuales la matriz A no tiene inversa.
b) Calcule $A^{-1}$ para x=3, y=1, z=0.
c) Resuelva el sistema B·A=C para a=1.

$\textbf{a) Determine los valores x, y, z para los cuales la matriz A no tiene inversa.}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula, así que lo calculamos desarrollando por la primera fila.

$|A| = \begin{vmatrix} x & y & x \\ y & 0 & y \\ 1 & z & z \end{vmatrix} = x(0 - yz) - y(yz - y) + x(yz - 0)$

$|A| = -xyz - y^2z + y^2 + xyz = y^2 - y^2 z = y^2(1 - z)$

$y^2(1-z) = 0 \Rightarrow y = 0 \ \text{ o } \ z = 1$

La matriz $A$ no tiene inversa cuando $y = 0$ o cuando $z = 1$, sea cual sea el valor de $x$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ para x=3, y=1, z=0.}$

Con esos valores la matriz y su determinante son

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 1^2(1-0) = 1 \neq 0$

Existe la inversa. La calculamos por el método de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow (\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\textbf{c) Resuelva el sistema } \boldsymbol{B \cdot A = C}\textbf{ para a=1.}$

Con $a = 1$ efectuamos el producto de la matriz fila $B$ por $A$.

$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x & y & x \\ y & 0 & y \\ 1 & z & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y + 3 & y + 3z & x + 2y + 3z \end{pmatrix}$

Igualando componente a componente con $C$ se obtiene el sistema:

$\begin{cases} x + 2y + 3 = 4 \\ y + 3z = 0 \\ x + 2y + 3z = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + 2y = 1 \\ y + 3z = 0 \\ x + 2y + 3z = 2 \end{cases}$

Sustituyendo la primera ecuación en la tercera:

$1 + 3z = 2 \Rightarrow z = \dfrac{1}{3}$

$y + 3\cdot\dfrac{1}{3} = 0 \Rightarrow y = -1$

$x + 2(-1) = 1 \Rightarrow x = 3$

La solución del sistema es $x = 3$, $y = -1$, $z = \frac{1}{3}$.