Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

$\textbf{Opción B}$

Considere el plano $\pi: 2x - y + z = 5$ y el punto $P = (0, 1, 3)$.

a) Compruebe que la distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. [0,5 puntos]
b) Encuentre la ecuación general de un plano $\pi_1$ paralelo a $\pi$ y que pase por el punto $P$. ¿Cuál es la distancia entre $\pi_1$ y $\pi$? [0,75 puntos]
c) Encuentre la ecuación general de un segundo plano $\pi_2$, diferente de $\pi_1$, que sea paralelo a $\pi$ y que esté a una distancia $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ de $\pi$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que la distancia del punto }\boldsymbol{P}\textbf{ al plano }\boldsymbol{\pi}\textbf{ es }\boldsymbol{\dfrac{\sqrt6}{2}}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Escribimos el plano en la forma general $2x-y+z-5=0$ y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(P,\pi)=\dfrac{\left|2x_0-y_0+z_0-5\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$

$d(P,\pi)=\dfrac{\left|2\cdot0-1+3-5\right|}{\sqrt{6}}=\dfrac{\left|-3\right|}{\sqrt6}=\dfrac{3}{\sqrt6}$

Racionalizando:

$\dfrac{3}{\sqrt6}=\dfrac{3\sqrt6}{6}=\dfrac{\sqrt6}{2}$

Queda comprobado que $d(P,\pi)=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1{,}22$.

$\textbf{b) Encuentre la ecuación general de un plano }\boldsymbol{\pi_1}\textbf{ paralelo a }\boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pase por el punto }\boldsymbol{P}\textbf{. ¿Cuál es la distancia entre }\boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y }\boldsymbol{\pi}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Dos planos paralelos comparten vector normal, así que $\pi_1$ tiene la forma $2x-y+z=D$; el valor de $D$ sale de imponer que pase por $P$.

$D=2\cdot0-1+3=2$

$\pi_1:\ 2x-y+z-2=0$

La distancia entre dos planos paralelos es la de cualquier punto de uno de ellos al otro; como $P$ está en $\pi_1$, esa distancia es la que ya calculamos.

$d(\pi_1,\pi)=d(P,\pi)=\dfrac{\sqrt6}{2}$

El plano pedido es $2x-y+z-2=0$ y dista de $\pi$ exactamente $\dfrac{\sqrt6}{2}$ unidades.

$\textbf{c) Encuentre la ecuación general de un segundo plano }\boldsymbol{\pi_2}\textbf{, diferente de }\boldsymbol{\pi_1}\textbf{, que sea paralelo a }\boldsymbol{\pi}\textbf{ y que esté a una distancia }\boldsymbol{\dfrac{\sqrt6}{2}}\textbf{ de }\boldsymbol{\pi}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Todo plano paralelo a $\pi$ se escribe $2x-y+z=D$. Imponemos la distancia tomando un punto cualquiera de $\pi_2$, o directamente con la fórmula de la distancia entre planos paralelos:

$d=\dfrac{\left|5-D\right|}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{2}$

$\left|5-D\right|=\dfrac{\sqrt6\cdot\sqrt6}{2}=3$

El valor absoluto da dos soluciones, una a cada lado de $\pi$:

$5-D=3 \Rightarrow D=2 \qquad 5-D=-3 \Rightarrow D=8$

La primera es el plano $\pi_1$ del apartado anterior, así que la que sirve es la segunda.

$\pi_2:\ 2x-y+z-8=0$



El plano pedido es $2x-y+z-8=0$: junto con $\pi_1$ son los dos únicos planos paralelos a $\pi$ que están a distancia $\dfrac{\sqrt6}{2}$ de él, uno a cada lado.