Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

$\textbf{Opción A}$

Un vidriero está reparando una de las vidrieras de la Sagrada Familia cuya forma es la de la parte sombreada de la figura adjunta. Se ha dado cuenta de que Gaudí la diseñó de manera que uno de los lados sigue la función $y = 3\operatorname{sen}(x/4)$ y el otro sigue la función $y = 3\cos(x/4)$, donde $x$ e $y$ están expresadas en metros.



a) Razone a qué función corresponde cada gráfica y calcule las coordenadas de los puntos $B$ y $C$ señalados en la figura, teniendo en cuenta que $A$ es el origen de coordenadas. [1 punto]
b) Calcule el precio de la vidriera sabiendo que cuesta 750 €/m². [1,5 puntos]

$\textbf{a) Razone a qué función corresponde cada gráfica y calcule las coordenadas de los puntos }\boldsymbol{B}\textbf{ y }\boldsymbol{C}\textbf{ señalados en la figura, teniendo en cuenta que }\boldsymbol{A}\textbf{ es el origen de coordenadas. (1 punto)}$

Basta evaluar las dos funciones en $x=0$ y comparar con la figura.

$3\operatorname{sen}\dfrac{0}{4}=0 \qquad 3\cos\dfrac{0}{4}=3$

La gráfica que sale del origen, es decir, del punto $A$, es la del seno, y es la que crece; la que corta al eje $OY$ a la altura $3$, en el punto $B$, es la del coseno, y es la que decrece. Por tanto

$B=(0,3)$

El punto $C$ es el corte de las dos curvas:

$3\operatorname{sen}\dfrac{x}{4}=3\cos\dfrac{x}{4} \Rightarrow \operatorname{tg}\dfrac{x}{4}=1 \Rightarrow \dfrac{x}{4}=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow x=\pi$

(se toma la primera solución positiva, que es la que aparece en la figura).

$y=3\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}=3\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$C=\left(\pi,\ \dfrac{3\sqrt2}{2}\right)\approx(3{,}14,\ 2{,}12)$

La gráfica creciente es $y=3\operatorname{sen}(x/4)$ y la decreciente es $y=3\cos(x/4)$; los puntos pedidos son $B=(0,3)$ y $C=\left(\pi,\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)$.

$\textbf{b) Calcule el precio de la vidriera sabiendo que cuesta 750 euros por metro cuadrado. (1,5 puntos)}$

La vidriera es el recinto comprendido entre las dos curvas desde $x=0$ hasta el punto de corte $x=\pi$. En ese tramo el coseno queda por encima del seno, así que su área es la integral de la diferencia en ese orden.

$S=\int_{0}^{\pi}\left(3\cos\dfrac{x}{4}-3\operatorname{sen}\dfrac{x}{4}\right)dx$

$\int 3\cos\dfrac{x}{4}\,dx=12\operatorname{sen}\dfrac{x}{4} \qquad \int 3\operatorname{sen}\dfrac{x}{4}\,dx=-12\cos\dfrac{x}{4}$

$S=\left[12\operatorname{sen}\dfrac{x}{4}+12\cos\dfrac{x}{4}\right]_{0}^{\pi}$

Aplicando la regla de Barrow:

$S=12\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)-12\left(0+1\right)=12\sqrt2-12$

$S=12\left(\sqrt2-1\right)\approx4{,}97\ \text{m}^2$

$750\cdot12\left(\sqrt2-1\right)=9000\left(\sqrt2-1\right)\approx3727{,}92$

La vidriera mide $12\left(\sqrt2-1\right)\approx4{,}97$ metros cuadrados, de modo que repararla cuesta unos 3 727,92 €.