Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

La lesión por sesamoiditis (inflamación del hueso sesamoideo del pie) es relativamente habitual entre la población que practica deportes de impacto (atletismo, baloncesto, tenis…). En una población de deportistas, se ha hecho un estudio diferenciando entre los que practican deportes de impacto y los que practican deportes sin impacto brusco (como natación, pilates, senderismo…). Se ha podido determinar que el 45 % practican deportes de impacto. Entre estos, un 10 % sufren lesiones por sesamoiditis, mientras que entre los que no practican deportes de impacto solo un 3 % presentan esta lesión. Escogemos un deportista al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sufra sesamoiditis? [0,75 puntos]
b) Si el deportista escogido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto? [0,75 puntos]
c) Una empresa de calzado deportivo ha creado una zapatilla con amortiguación para minimizar las lesiones por sesamoiditis. Los beneficios generados por la venta de este producto, en miles de euros, siguen una función de la forma $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$, donde $x$ son los años transcurridos desde que la zapatilla salió a la venta y $a$, $b$ y $c$ son constantes reales. Calcule los valores de $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el primer año se obtuvo el máximo de beneficios, con un valor de 8 000 euros, y que el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que sufra sesamoiditis? (0,75 puntos)}$

Llamamos $I$ al suceso «practica deportes de impacto» y $S$ al suceso «sufre sesamoiditis». Del enunciado se leen $P(I)=0{,}45$, $P(\overline{I})=0{,}55$, $P(S\mid I)=0{,}10$ y $P(S\mid\overline{I})=0{,}03$.



La lesión puede aparecer en cualquiera de los dos grupos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $S$.

$P(S)=P(I)\cdot P(S\mid I)+P(\overline{I})\cdot P(S\mid\overline{I})$

$P(S)=0{,}45\cdot0{,}10+0{,}55\cdot0{,}03=0{,}045+0{,}0165=0{,}0615$

La probabilidad de que un deportista escogido al azar sufra sesamoiditis es $0{,}0615$, es decir, un $6{,}15\%$.

$\textbf{b) Si el deportista escogido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto? (0,75 puntos)}$

Ahora la condición se conoce después del efecto, de modo que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(I\mid S)=\dfrac{P(I)\cdot P(S\mid I)}{P(S)}$

$P(I\mid S)=\dfrac{0{,}45\cdot0{,}10}{0{,}0615}=\dfrac{0{,}045}{0{,}0615}=\dfrac{30}{41}\approx0{,}7317$

Si el deportista tiene sesamoiditis, la probabilidad de que practique deportes de impacto es $\dfrac{30}{41}$, casi un $73\%$.

$\textbf{c) Calcule los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{, }\boldsymbol{b}\textbf{ y }\boldsymbol{c}\textbf{ sabiendo que el primer año se obtuvo el máximo de beneficios, con un valor de 8 000 euros, y que el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios. (1 punto)}$

Cada dato del enunciado se traduce en una condición sobre $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ o sobre sus derivadas. Como los beneficios se miden en miles de euros, $8\,000$ euros son $8$ unidades.

$f'(x)=3ax^2+2bx+c \qquad f''(x)=6ax+2b$

El máximo en $x=1$ da dos condiciones, y el punto de inflexión en $x=2$, una tercera:

$f(1)=8 \Rightarrow a+b+c=8$

$f'(1)=0 \Rightarrow 3a+2b+c=0$

$f''(2)=0 \Rightarrow 12a+2b=0 \Rightarrow b=-6a$

Sustituimos $b=-6a$ en la segunda ecuación y despejamos $c$:

$3a-12a+c=0 \Rightarrow c=9a$

y llevamos ambas a la primera:

$a-6a+9a=8 \Rightarrow 4a=8 \Rightarrow a=2$

$b=-12 \qquad c=18$

Comprobamos que el punto crítico es realmente un máximo: $f''(x)=12x-24$ y $f''(1)=-12<0$.

Los coeficientes son $a=2$, $b=-12$ y $c=18$, de modo que la función de beneficios es $f(x)=2x^3-12x^2+18x$ miles de euros.