Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$\left.\begin{array}{r} x + 3y + z = 5 \\ mx + 2z = 0 \\ my - z = m \end{array}\right\}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $m$. [1,25 puntos]
b) Resuelva el sistema para $m = 1$. [0,5 puntos]
c) Resuelva el sistema cuando este tenga infinitas soluciones. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro }\boldsymbol{m}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Escribimos la matriz de los coeficientes y la ampliada, con las incógnitas ordenadas como $x$, $y$, $z$.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m & 0 & 2 \\ 0 & m & -1 \end{pmatrix} \qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 5 \\ m & 0 & 2 & 0 \\ 0 & m & -1 & m \end{array}\right)$

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m & 0 & 2 \\ 0 & m & -1 \end{vmatrix}=-2m+3m+m^2=m^2+m=m(m+1)$

$|A|=0 \Rightarrow m=0 \ \text{ o } \ m=-1$

Si $m\neq0$ y $m\neq-1$, entonces $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Para $m=0$ el sistema queda $x+3y+z=5$, $2z=0$ y $-z=0$: las dos últimas ecuaciones dicen lo mismo. El menor $\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2\neq0$ da $\operatorname{rg}(A)=2$, y como el término independiente de las dos ecuaciones repetidas es $0$ en ambas, también $\operatorname{rg}(A^*)=2$: sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

Para $m=-1$ el menor $\begin{vmatrix}1&3\\-1&0\end{vmatrix}=3\neq0$ da $\operatorname{rg}(A)=2$. En cambio la tercera fila de $A$ es combinación de las otras dos con coeficientes $-\dfrac13$ y $-\dfrac13$, y esa misma combinación aplicada a los términos independientes daría $-\dfrac53$ en lugar del $-1$ que hay: la relación se rompe en la columna del término independiente, de manera que $\operatorname{rg}(A^*)=3$ y el sistema es incompatible.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para }\boldsymbol{m=1}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Con $m=1$ el sistema es compatible determinado. Despejamos en las dos últimas ecuaciones y sustituimos en la primera.

$\left.\begin{array}{r} x+3y+z=5 \\ x+2z=0 \\ y-z=1 \end{array}\right\} \Rightarrow x=-2z,\quad y=1+z$

$-2z+3(1+z)+z=5 \Rightarrow 2z+3=5 \Rightarrow z=1$

$x=-2 \qquad y=2$

La solución única es $(x,y,z)=(-2,2,1)$, que se comprueba sin más que sustituirla en las tres ecuaciones.

$\textbf{c) Resuelva el sistema cuando este tenga infinitas soluciones. (0,75 puntos)}$

El único caso con infinitas soluciones es $m=0$, según la discusión del primer apartado.

$\left.\begin{array}{r} x+3y+z=5 \\ 2z=0 \\ -z=0 \end{array}\right\} \Rightarrow z=0$

$x+3y=5 \Rightarrow x=5-3y$

Tomando $y=\lambda$ como parámetro:

$(x,y,z)=(5-3\lambda,\ \lambda,\ 0),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Para $m=0$ las soluciones son los puntos de la recta que pasa por $(5,0,0)$ con vector director $(-3,1,0)$, contenida en el plano $z=0$.