Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Una familia quiere comprar un terreno para hacerse una casa rodeada de acantilados con vistas al mar. En aquella zona de la costa, los acantilados siguen las rectas $y = 0$ e $y = 3x$. Además, la familia quiere que el terreno sea triangular y que el tercer lado del triángulo pase por el punto $P = (1, 1)$, tal como se puede ver en la figura.



a) Plantee la ecuación de la recta $r$ que define el tercer lado del triángulo en función de su pendiente $m$, y compruebe que el área del terreno viene dada por $A(m) = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}$. [1 punto]
b) Calcule el valor de $m$ que hace que el área de este terreno (y, por tanto, su precio) sea mínima. ¿Cuál es el valor de esta área? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Plantee la ecuación de la recta }\boldsymbol{r}\textbf{ que define el tercer lado del triángulo en función de su pendiente }\boldsymbol{m}\textbf{, y compruebe que el área del terreno viene dada por }\boldsymbol{A(m)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m^2-2m+1}{m^2-3m}}\textbf{. (1 punto)}$

El tercer lado pasa por $P=(1,1)$ y tiene pendiente $m$, de manera que su ecuación punto-pendiente es

$r:\ y-1=m(x-1) \Rightarrow y=m(x-1)+1$

Los vértices del triángulo son los tres cortes de las rectas dos a dos. El primero es el corte de los dos acantilados:

$y=0,\ y=3x \Rightarrow O=(0,0)$

El segundo, el corte de $r$ con $y=0$:

$0=m(x-1)+1 \Rightarrow x=\dfrac{m-1}{m} \Rightarrow A=\left(\dfrac{m-1}{m},\,0\right)$

Y el tercero, el corte de $r$ con $y=3x$:

$3x=m(x-1)+1 \Rightarrow x(3-m)=1-m \Rightarrow x=\dfrac{1-m}{3-m}$

$B=\left(\dfrac{1-m}{3-m},\ \dfrac{3(1-m)}{3-m}\right)$

Como uno de los vértices es el origen, el área del triángulo se calcula cómodamente con el determinante de los otros dos vectores de posición.

$\text{área}=\dfrac{1}{2}\left|\det\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\right|=\dfrac{1}{2}\left|x_A\,y_B-x_B\,y_A\right|$

$\text{área}=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{m-1}{m}\cdot\dfrac{3(1-m)}{3-m}\right|=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{(m-1)^2}{\left|m(3-m)\right|}$

En la figura la recta $r$ baja de izquierda a derecha, así que su pendiente es negativa. Para $m<0$ se tiene $m(m-3)>0$, y el valor absoluto se puede quitar escribiendo el denominador en ese orden:

$A(m)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{(m-1)^2}{m(m-3)}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m^2-2m+1}{m^2-3m}$

que es exactamente la expresión del enunciado.

$\textbf{b) Calcule el valor de }\boldsymbol{m}\textbf{ que hace que el área de este terreno (y, por tanto, su precio) sea mínima. ¿Cuál es el valor de esta área? (1,5 puntos)}$

Buscamos el mínimo de $A(m)$ en el intervalo $(-\infty,0)$, que es donde el triángulo existe. Derivamos la función como cociente.

$A'(m)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2(m-1)\left(m^2-3m\right)-(m-1)^2(2m-3)}{\left(m^2-3m\right)^2}$

Sacamos factor común $(m-1)$ en el numerador y desarrollamos el corchete:

$2\left(m^2-3m\right)-(m-1)(2m-3)=2m^2-6m-2m^2+5m-3=-m-3$

$A'(m)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{(m-1)(-m-3)}{\left(m^2-3m\right)^2}=\dfrac{-3(m-1)(m+3)}{2m^2(m-3)^2}$

$A'(m)=0 \Rightarrow m=1 \ \text{ o } \ m=-3$

Se descarta $m=1$, porque no es negativa: con esa pendiente la recta $r$ pasaría por el origen y no habría triángulo. Estudiamos el signo de $A'(m)$ en el intervalo válido; el denominador es un cuadrado y siempre es positivo, y en $m<0$ el factor $-3(m-1)$ es positivo, así que el signo lo marca $m+3$.



La función decrece antes de $m=-3$ y crece después, luego ahí hay un mínimo.

$A(-3)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{(-3-1)^2}{(-3)^2-3\cdot(-3)}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{16}{18}=\dfrac{4}{3}$

El terreno más barato es el que se obtiene con una pendiente $m=-3$, y su área vale $\dfrac{4}{3}\approx1{,}33$ unidades cuadradas.