Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

$\textbf{Opción B}$

Considere el plano $\pi$ de ecuación $x + y = 0$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi'$ que es perpendicular a $\pi$ y contiene los puntos $P = (1, -1, 2)$ y $Q = (3, -3, 6)$. [1 punto]
b) Calcule la ecuación paramétrica de la recta contenida en $\pi'$ y que contiene los puntos de $\pi'$ que están a la misma distancia de $P$ que de $Q$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación del plano }\boldsymbol{\pi'}\textbf{ que es perpendicular a }\boldsymbol{\pi}\textbf{ y contiene los puntos }\boldsymbol{P=(1,-1,2)}\textbf{ y }\boldsymbol{Q=(3,-3,6)}\textbf{. (1 punto)}$

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales. Si $\vec n_{\pi}=(1,1,0)$ ha de ser perpendicular a $\vec n_{\pi'}$, entonces $\vec n_{\pi}$ es paralelo a $\pi'$ y sirve como vector director suyo. El segundo director lo da el propio segmento $PQ$.

$\overrightarrow{PQ}=(2,-2,4) \parallel (1,-1,2)$

$\vec n_{\pi'}=(1,-1,2)\times(1,1,0)=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=(-2,2,2) \parallel (-1,1,1)$

$-1(x-1)+1(y+1)+1(z-2)=0 \Rightarrow -x+y+z=0$

$\pi':\ x-y-z=0$

Comprobamos las dos condiciones: $Q$ la cumple, $3+3-6=0$, y los normales son perpendiculares, $(1,-1,-1)\cdot(1,1,0)=0$.

El plano pedido es $\pi':\ x-y-z=0$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación paramétrica de la recta contenida en }\boldsymbol{\pi'}\textbf{ y que contiene los puntos de }\boldsymbol{\pi'}\textbf{ que están a la misma distancia de }\boldsymbol{P}\textbf{ que de }\boldsymbol{Q}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Los puntos del espacio que equidistan de $P$ y de $Q$ forman el plano mediador del segmento $PQ$: el que pasa por su punto medio y tiene a $\overrightarrow{PQ}$ como vector normal. La recta pedida es la intersección de ese plano con $\pi'$.

$M=\dfrac{P+Q}{2}=\left(\dfrac{1+3}{2},\dfrac{-1-3}{2},\dfrac{2+6}{2}\right)=(2,-2,4)$

$1(x-2)-1(y+2)+2(z-4)=0 \Rightarrow x-y+2z-12=0$

Resolvemos el sistema formado por los dos planos restando la primera ecuación de la segunda:

$\left.\begin{array}{r} x-y-z=0 \\ x-y+2z=12 \end{array}\right\} \Rightarrow 3z=12 \Rightarrow z=4$

$x-y-4=0 \Rightarrow x=y+4$

Tomando $y=\lambda$ como parámetro:

$r:\ \left\{\begin{array}{l} x=4+\lambda \\ y=\lambda \\ z=4 \end{array}\right.\qquad \lambda\in\mathbb{R}$



La recta pasa por el punto medio $M=(2,-2,4)$, como debía ser, y su vector director $(1,1,0)$ es perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$: es la mediatriz del segmento $PQ$ dibujada dentro del plano $\pi'$.