Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

$\textbf{Opción A}$

La vela mayor de un velero tiene forma semiparabólica y está delimitada por las gráficas de $f(x) = -x^2 + 25$, $y = 0$ y $x = 0$, tal como se indica en la figura siguiente:



La vela tiene dos partes separadas por la recta $y = 9$. Para construirla, se emplea un tejido de nailon en la parte superior, que cuesta 50 €/u², y un tejido de poliéster en la parte inferior, que cuesta 70 €/u². Calcule el coste total del material que se necesita para construir esta vela. [2,5 puntos]

$\textbf{Opción A. Calcule el coste total del material que se necesita para construir esta vela. (2,5 puntos)}$

La vela ocupa el recinto del primer cuadrante limitado por la parábola $f(x)=-x^2+25$, el eje $OY$ y el eje $OX$, y la recta $y=9$ lo parte en dos. Como los dos tejidos tienen precios distintos, hay que calcular por separado el área de cada parte.

Primero localizamos los cortes que delimitan el recinto:

$f(x)=0 \Rightarrow -x^2+25=0 \Rightarrow x=5$

$f(x)=9 \Rightarrow -x^2+25=9 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4$

(en ambos casos se descarta la raíz negativa, porque el recinto está en $x\ge0$).

La región superior está entre la parábola y la recta $y=9$, y solo existe mientras la parábola queda por encima, es decir, para $0\le x\le4$.

$A_{\text{sup}}=\int_{0}^{4}\left(\left(-x^2+25\right)-9\right)dx=\int_{0}^{4}\left(16-x^2\right)dx$

$A_{\text{sup}}=\left[16x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{4}=64-\dfrac{64}{3}=\dfrac{128}{3}$

La región inferior es un rectángulo de base $4$ y altura $9$ más el trozo que queda bajo la parábola entre $x=4$ y $x=5$.

$A_{\text{inf}}=9\cdot4+\int_{4}^{5}\left(-x^2+25\right)dx=36+\left[-\dfrac{x^3}{3}+25x\right]_{4}^{5}$

$A_{\text{inf}}=36+\left(\dfrac{250}{3}-\dfrac{236}{3}\right)=36+\dfrac{14}{3}=\dfrac{122}{3}$

Como comprobación, la suma de las dos áreas es el recinto entero:

$\dfrac{128}{3}+\dfrac{122}{3}=\dfrac{250}{3}=\int_{0}^{5}\left(-x^2+25\right)dx$

Ahora multiplicamos cada superficie por el precio de su tejido:

$C=50\cdot\dfrac{128}{3}+70\cdot\dfrac{122}{3}=\dfrac{6400}{3}+\dfrac{8540}{3}=\dfrac{14940}{3}=4980$

Se necesitan $\dfrac{128}{3}\approx42{,}67$ unidades cuadradas de nailon y $\dfrac{122}{3}\approx40{,}67$ de poliéster, de modo que el coste total del material de la vela es de 4 980 €.