Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$\left.\begin{array}{r} y - z = p + 3 \\ p^2x - z = 5 \\ x - y = 3 \end{array}\right\}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $p$. [1,25 puntos]
b) Resuelva el sistema para el caso $p = -1$. [0,5 puntos]
c) Para el caso $p = -1$, ¿hay alguna solución que cumpla, además, $xy = 10$? En caso afirmativo, indique cuántas hay y encuéntrelas todas. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro }\boldsymbol{p}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Ordenamos las incógnitas como $x$, $y$, $z$ y escribimos la matriz de los coeficientes y la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ p^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & p+3 \\ p^2 & 0 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right)$

$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ p^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}=p^2-1=(p-1)(p+1)$

$|A|=0 \Rightarrow p=1 \ \text{ o } \ p=-1$

Si $p\neq1$ y $p\neq-1$, entonces $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

En los dos casos que anulan el determinante, el menor $\begin{vmatrix}1&-1\\-1&0\end{vmatrix}=-1\neq0$ garantiza que $\operatorname{rg}(A)=2$, así que todo depende de la ampliada.

Para $p=1$, sumando la primera y la tercera ecuación se obtiene $x-z=p+3+3=7$, que contradice a la segunda, $x-z=5$. El sistema es incompatible, $\operatorname{rg}(A^*)=3$.

Para $p=-1$, la misma suma da $x-z=2+3=5$, que es exactamente la segunda ecuación: la tercera fila de $A^*$ es combinación lineal de las otras dos y $\operatorname{rg}(A^*)=2$. El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para el caso }\boldsymbol{p=-1}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Con $p=-1$ el sistema queda

$\left.\begin{array}{r} y-z=2 \\ x-z=5 \\ x-y=3 \end{array}\right\}$

y, como acabamos de ver, la tercera ecuación es la diferencia de las dos primeras, de modo que sobra. Tomamos $z=\lambda$ como parámetro.

$y=2+\lambda \qquad x=5+\lambda$

$(x,y,z)=(5+\lambda,\ 2+\lambda,\ \lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Las infinitas soluciones son los puntos de la recta que pasa por $(5,2,0)$ y tiene vector director $(1,1,1)$.

$\textbf{c) Para el caso }\boldsymbol{p=-1}\textbf{, ¿hay alguna solución que cumpla, además, }\boldsymbol{xy=10}\textbf{? En caso afirmativo, indique cuántas hay y encuéntrelas todas. (0,75 puntos)}$

Imponemos la condición sobre la solución general del apartado anterior.

$(5+\lambda)(2+\lambda)=10 \Rightarrow \lambda^2+7\lambda+10=10$

$\lambda^2+7\lambda=0 \Rightarrow \lambda(\lambda+7)=0 \Rightarrow \lambda=0 \ \text{ o } \ \lambda=-7$

Los dos valores son válidos, porque el parámetro puede tomar cualquier valor real.

$\lambda=0 \Rightarrow (x,y,z)=(5,2,0)$

$\lambda=-7 \Rightarrow (x,y,z)=(-2,-5,-7)$

Comprobamos la condición en las dos: $5\cdot2=10$ y $(-2)\cdot(-5)=10$.

Sí las hay, y son exactamente dos: $(5,2,0)$ y $(-2,-5,-7)$.