Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Considere la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 1}$.

a) Determine los cortes de la curva $y = f(x)$ con los ejes de coordenadas, y las ecuaciones de sus posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. [1 punto]
b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y = f(x)$ en los puntos $x = 0$ y $x = 2$. ¿Estas dos rectas son paralelas? Justifique la respuesta. [1 punto]
c) ¿Hay algún punto donde la recta tangente a $f(x)$ tenga pendiente 1? En caso afirmativo, encuéntrelo. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los cortes de la curva }\boldsymbol{y=f(x)}\textbf{ con los ejes de coordenadas, y las ecuaciones de sus posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. (1 punto)}$

El dominio de la función es $\mathbb{R}-\{1\}$, porque el denominador solo se anula en $x=1$. Una fracción vale cero cuando lo hace su numerador, así que los cortes con el eje $OX$ salen de ahí.

$x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \ \text{ o } \ x=2$

Los dos valores pertenecen al dominio. Además $f(0)=0$, de modo que el corte con el eje $OY$ es el mismo punto.

$(0,0) \qquad (2,0)$

En $x=1$ se anula el denominador pero no el numerador, luego hay una asíntota vertical.

$\lim_{x\to1^-}\dfrac{x^2-2x}{x-1}=\dfrac{-1}{0^-}=+\infty \qquad \lim_{x\to1^+}\dfrac{x^2-2x}{x-1}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty$

No hay asíntotas horizontales, porque el grado del numerador supera en una unidad al del denominador y entonces la función no tiende a ningún número finito. Ese mismo hecho anuncia una asíntota oblicua, que se obtiene efectuando la división:

$f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\dfrac{1}{x-1}$

$\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-(x-1)\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-1}{x-1}=0$

La curva corta a los ejes en $(0,0)$ y $(2,0)$, tiene la asíntota vertical $x=1$, no tiene asíntotas horizontales y tiene la asíntota oblicua $y=x-1$ por los dos lados.

$\textbf{b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva }\boldsymbol{y=f(x)}\textbf{ en los puntos }\boldsymbol{x=0}\textbf{ y }\boldsymbol{x=2}\textbf{. ¿Estas dos rectas son paralelas? Justifique la respuesta. (1 punto)}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada en ese punto. Derivamos sobre la expresión ya dividida del apartado anterior, que es más cómoda.

$f(x)=x-1-(x-1)^{-1} \Rightarrow f'(x)=1+\dfrac{1}{(x-1)^2}$

$f'(0)=1+\dfrac{1}{(0-1)^2}=2 \qquad f(0)=0$

$y-0=2(x-0) \Rightarrow y=2x$

$f'(2)=1+\dfrac{1}{(2-1)^2}=2 \qquad f(2)=0$

$y-0=2(x-2) \Rightarrow y=2x-4$

Las dos rectas tienen la misma pendiente, $2$, y distinta ordenada en el origen, de modo que son paralelas y no coincidentes.



Las rectas tangentes son $y=2x$ en $x=0$ y $y=2x-4$ en $x=2$, y sí son paralelas, porque ambas tienen pendiente $2$.

$\textbf{c) ¿Hay algún punto donde la recta tangente a }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga pendiente 1? En caso afirmativo, encuéntrelo. (0,5 puntos)}$

Basta imponer que la derivada valga $1$.

$f'(x)=1 \Rightarrow 1+\dfrac{1}{(x-1)^2}=1 \Rightarrow \dfrac{1}{(x-1)^2}=0$

Una fracción de numerador $1$ no se anula nunca, así que la ecuación no tiene solución. De hecho $(x-1)^2>0$ en todo el dominio y por tanto $f'(x)>1$ siempre: la pendiente de la tangente es mayor que $1$ en cualquier punto de la curva, y por eso la gráfica se acerca a la asíntota oblicua $y=x-1$ sin llegar nunca a tener su pendiente.

No hay ningún punto en el que la recta tangente tenga pendiente $1$.