Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

$\textbf{Opción B}$

Considere los puntos del espacio $P = (1, 0, -1)$, $Q = (3, -2, 0)$ y $R = (1, 1, 1)$.

a) Calcule la ecuación del plano que contiene los puntos $P$, $Q$ y $R$. [0,75 puntos]
b) Compruebe que el área del triángulo $\triangle PQR$ es $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\,u^2$. [0,75 puntos]
c) Determine las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un cuarto punto $S = (x, y, z)$ para que $P$, $Q$, $R$ y $S$ formen un tetraedro de volumen 1. El volumen del tetraedro formado por los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ es $\text{volumen}(PQRS) = \dfrac{\text{área}(\triangle PQR)\cdot\text{altura}}{3}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la ecuación del plano que contiene los puntos }\boldsymbol{P}\textbf{, }\boldsymbol{Q}\textbf{ y }\boldsymbol{R}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores independientes. Tomamos $P$ como punto y los vectores que van de él a los otros dos.

$\overrightarrow{PQ}=(3-1,\,-2-0,\,0-(-1))=(2,-2,1)$

$\overrightarrow{PR}=(1-1,\,1-0,\,1-(-1))=(0,1,2)$

No son proporcionales, así que los tres puntos no están alineados y determinan un único plano. Su vector normal es el producto vectorial de los dos directores.

$\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}=(-5,-4,2)$

$-5(x-1)-4(y-0)+2(z+1)=0 \Rightarrow -5x-4y+2z+7=0$

$\pi:\ 5x+4y-2z-7=0$

Comprobamos que los otros dos puntos la cumplen: $5\cdot3+4\cdot(-2)-2\cdot0-7=0$ para $Q$ y $5+4-2-7=0$ para $R$.

El plano que contiene a los tres puntos es $5x+4y-2z-7=0$.

$\textbf{b) Compruebe que el área del triángulo }\boldsymbol{\triangle PQR}\textbf{ es }\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\,u^2}\textbf{. (0,75 puntos)}$

El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que determinan, y el triángulo es su mitad. El producto vectorial ya está calculado en el apartado anterior.

$\text{área}(\triangle PQR)=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\right|=\dfrac{1}{2}\left|(-5,-4,2)\right|$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}=\dfrac{\sqrt{45}}{2}=\dfrac{3\sqrt5}{2}$

Queda comprobado que el área del triángulo $\triangle PQR$ es $\dfrac{3\sqrt5}{2}\ \text{u}^2$.

$\textbf{c) Determine las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un cuarto punto }\boldsymbol{S=(x,y,z)}\textbf{ para que }\boldsymbol{P}\textbf{, }\boldsymbol{Q}\textbf{, }\boldsymbol{R}\textbf{ y }\boldsymbol{S}\textbf{ formen un tetraedro de volumen 1. (1 punto)}$

Tomamos el triángulo $\triangle PQR$ como base del tetraedro; entonces la altura es la distancia del vértice $S$ al plano $\pi$ que contiene esa base.



De la fórmula del enunciado despejamos la altura:

$1=\dfrac{\text{área}(\triangle PQR)\cdot h}{3}=\dfrac{\frac{3\sqrt5}{2}\,h}{3}=\dfrac{\sqrt5}{2}\,h \Rightarrow h=\dfrac{2}{\sqrt5}$

$d(S,\pi)=\dfrac{\left|5x+4y-2z-7\right|}{\sqrt{5^2+4^2+(-2)^2}}=\dfrac{\left|5x+4y-2z-7\right|}{3\sqrt5}$

$\dfrac{\left|5x+4y-2z-7\right|}{3\sqrt5}=\dfrac{2}{\sqrt5} \Rightarrow \left|5x+4y-2z-7\right|=6$

El valor absoluto da dos posibilidades, una a cada lado del plano:

$5x+4y-2z-7=6 \Rightarrow 5x+4y-2z=13$

$5x+4y-2z-7=-6 \Rightarrow 5x+4y-2z=1$

Las coordenadas de $S$ han de cumplir $5x+4y-2z=13$ o bien $5x+4y-2z=1$; es decir, $S$ puede ser cualquier punto de los dos planos paralelos a $\pi$ situados a distancia $\dfrac{2}{\sqrt5}$ de él, uno a cada lado. Ninguno de esos puntos está en $\pi$, de modo que el tetraedro nunca degenera.