Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

$\textbf{Opción A}$

El alcalde de un pueblo de Cataluña encarga al arquitecto municipal el diseño de un parque infantil que se construirá en un terreno público. Para cumplir la normativa vigente, en el parque debe haber dos espacios bien delimitados: uno para una boca de riego —el cual, según el arquitecto, debe tener forma circular— y otro para una caseta donde se guarden las herramientas de mantenimiento —el cual debe tener forma cuadrada. Por motivos estéticos, el arquitecto quiere delimitar cada uno de estos dos espacios con una barandilla de forja. Sabiendo que las dos barandillas miden exactamente 10 m de longitud en total, ¿qué medida debe tener la barandilla de cada espacio para que la suma de las superficies de los dos espacios sea la más pequeña posible? ¿Cuál es esta superficie mínima? [2,5 puntos]

$\textbf{Opción A. ¿Qué medida debe tener la barandilla de cada espacio para que la suma de las superficies de los dos espacios sea la más pequeña posible? ¿Cuál es esta superficie mínima? (2,5 puntos)}$

Cada barandilla rodea su espacio, así que su longitud es el perímetro del recinto correspondiente. Llamamos $x$ a la longitud, en metros, de la barandilla del espacio cuadrado; la del circular mide entonces $10-x$, con $0<x<10$.



El lado del cuadrado y el radio del círculo se despejan de sus perímetros:

$4a=x \Rightarrow a=\dfrac{x}{4} \qquad 2\pi r=10-x \Rightarrow r=\dfrac{10-x}{2\pi}$

y la función que hay que minimizar es la suma de las dos superficies:

$S(x)=a^2+\pi r^2=\dfrac{x^2}{16}+\pi\cdot\dfrac{(10-x)^2}{4\pi^2}=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(10-x)^2}{4\pi}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar el extremo.

$S'(x)=\dfrac{x}{8}-\dfrac{10-x}{2\pi}$

$S'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{x}{8}=\dfrac{10-x}{2\pi} \Rightarrow \pi x=4(10-x) \Rightarrow x(\pi+4)=40$

$x=\dfrac{40}{\pi+4}\approx5{,}60\ \text{m}$

Comprobamos que es un mínimo con la segunda derivada, que no depende de $x$:

$S''(x)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2\pi}>0$

luego $S$ es convexa en todo el intervalo y el punto crítico es su mínimo absoluto. La otra barandilla mide

$10-x=10-\dfrac{40}{\pi+4}=\dfrac{10\pi}{\pi+4}\approx4{,}40\ \text{m}$

y la superficie total en ese reparto es

$S\left(\dfrac{40}{\pi+4}\right)=\dfrac{100}{(\pi+4)^2}+\dfrac{25\pi}{(\pi+4)^2}=\dfrac{25(4+\pi)}{(\pi+4)^2}=\dfrac{25}{\pi+4}$

$\dfrac{25}{\pi+4}\approx3{,}50\ \text{m}^2$

La barandilla del espacio cuadrado debe medir $\dfrac{40}{\pi+4}\approx5{,}60$ metros y la del espacio circular, $\dfrac{10\pi}{\pi+4}\approx4{,}40$ metros. Con ese reparto la suma de las dos superficies es la mínima posible y vale $\dfrac{25}{\pi+4}\approx3{,}50$ metros cuadrados.