Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que está formado por tres planos en el espacio y depende del parámetro real $m$:

$\left.\begin{array}{r} x + my + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \\ mx + y + z = 4 \end{array}\right\}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $m$. [1 punto]
b) Interprete geométricamente este sistema para todos los valores del parámetro $m$ y resuélvalo, si es posible, para el caso $m = 1$. [1 punto]
c) Para $m = 1$, ¿es posible añadir una cuarta ecuación de manera que el sistema resultante sea compatible determinado y tenga como solución $(x, y, z) = \left(3, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$? Razone la respuesta. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro }\boldsymbol{m}\textbf{. (1 punto)}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Llamamos $A$ a la matriz de los coeficientes y $A^*$ a la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & m & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ m & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix}=m^2-4m+3=(m-1)(m-3)$

$|A|=0 \Rightarrow m=1 \ \text{ o } \ m=3$

Si $m\neq1$ y $m\neq3$, entonces $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$, que es el número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Para $m=1$ la primera y la tercera fila de $A^*$ son idénticas, término independiente incluido, de modo que la tercera ecuación es la primera repetida. El menor $\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2\neq0$ da $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2$: sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

Para $m=3$ la primera y la segunda ecuación tienen los mismos coeficientes, $x+3y+z$, pero términos independientes distintos, $4$ y $5$: son incompatibles entre sí. Como el menor $\begin{vmatrix}3&1\\1&1\end{vmatrix}=2\neq0$ da $\operatorname{rg}(A)=2$ mientras que $\operatorname{rg}(A^*)=3$, el sistema es incompatible.

$\textbf{b) Interprete geométricamente este sistema para todos los valores del parámetro }\boldsymbol{m}\textbf{ y resuélvalo, si es posible, para el caso }\boldsymbol{m=1}\textbf{. (1 punto)}$

Cada ecuación es un plano, así que la discusión anterior se traduce en la posición relativa de los tres.

Si $m\neq1$ y $m\neq3$, la solución es única: los tres planos se cortan en un solo punto.

Si $m=1$, el primer plano y el tercero son el mismo, $x+y+z=4$, y el segundo los corta: los tres tienen en común toda una recta.

Si $m=3$, el primer plano y el segundo son paralelos y distintos, y el tercero corta a los dos: no hay ningún punto común a los tres y los planos se cortan dos a dos en dos rectas paralelas.

Resolvemos el caso $m=1$, en el que la tercera ecuación sobra. Restando la primera de la segunda:

$(x+3y+z)-(x+y+z)=5-4 \Rightarrow 2y=1 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$

$x+\dfrac{1}{2}+z=4 \Rightarrow x=\dfrac{7}{2}-z$

Tomando $z=\lambda$ como parámetro, la solución es

$(x,y,z)=\left(\dfrac{7}{2}-\lambda,\ \dfrac{1}{2},\ \lambda\right),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

que es la recta que pasa por $\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2},0\right)$ con vector director $(-1,0,1)$.

$\textbf{c) Para }\boldsymbol{m=1}\textbf{, ¿es posible añadir una cuarta ecuación de manera que el sistema resultante sea compatible determinado y tenga como solución }\boldsymbol{(x,y,z)=\left(3,\tfrac12,\tfrac12\right)}\textbf{? Razone la respuesta. (0,5 puntos)}$

Sí es posible. Lo primero es comprobar que el punto propuesto es una de las infinitas soluciones del apartado anterior: haciendo $\lambda=\dfrac{1}{2}$ se obtiene

$\left(\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)=\left(3,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

Si no perteneciera a la recta, añadir una ecuación no serviría de nada: quitar soluciones nunca crea una que no estuviera antes. Como sí pertenece, basta añadir un plano que pase por él y que no contenga a la recta, es decir, cuyo vector normal no sea perpendicular al director $(-1,0,1)$. Por ejemplo, $x=3$, cuyo normal es $(1,0,0)$ y cumple $(1,0,0)\cdot(-1,0,1)=-1\neq0$.

$\left.\begin{array}{r} x+y+z=4 \\ x+3y+z=5 \\ x+y+z=4 \\ x=3 \end{array}\right\}$

Con la cuarta ecuación el rango de la matriz de coeficientes sube a $3$ sin que suba el de la ampliada, así que el sistema pasa a ser compatible determinado y su única solución es, precisamente, $\left(3,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.