Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Considere la función definida a trozos siguiente:

$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 5e^{2x} & x \le 0 \\ (x+m)^2 + 1 & 0 < x < 2 \\ 1 & 2 \le x \end{array}\right.$

donde $m$ es un parámetro real.

a) Determine los valores de $m$ que hacen que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. Justifique la respuesta. [1 punto]
b) Haga un esbozo de la gráfica de $y = f(x)$ para el caso $m = -2$, y calcule el área delimitada por esta gráfica, el eje $OX$ y las rectas $x = -1$ y $x = 3$. [1 punto]
c) Para $m = -2$, encuentre un punto donde la recta tangente a $y = f(x)$ sea paralela a $y = -2x$. Calcule la ecuación de esta recta tangente. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los valores de }\boldsymbol{m}\textbf{ que hacen que la función }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en todo su dominio. Justifique la respuesta. (1 punto)}$

Los tres trozos son funciones elementales continuas en el interior de su intervalo, de modo que la continuidad solo puede fallar en los dos puntos de empalme, $x=0$ y $x=2$. En cada uno de ellos han de coincidir los dos límites laterales con el valor de la función.

Empalme en $x=0$:

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=5e^{0}=5 \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=(0+m)^2+1=m^2+1$

$m^2+1=5 \Rightarrow m^2=4 \Rightarrow m=-2 \ \text{ o } \ m=2$

Empalme en $x=2$:

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=(2+m)^2+1 \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=1$

$(2+m)^2+1=1 \Rightarrow (2+m)^2=0 \Rightarrow m=-2$

El segundo empalme deja un único valor posible, y ese valor está también entre los dos que admite el primero, de manera que sirve para los dos a la vez.

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ únicamente para $m=-2$.

$\textbf{b) Haga un esbozo de la gráfica de }\boldsymbol{y=f(x)}\textbf{ para el caso }\boldsymbol{m=-2}\textbf{, y calcule el área delimitada por esta gráfica, el eje }\boldsymbol{OX}\textbf{ y las rectas }\boldsymbol{x=-1}\textbf{ y }\boldsymbol{x=3}\textbf{. (1 punto)}$

Con $m=-2$ la función es

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 5e^{2x} & x\le 0 \\ (x-2)^2+1 & 0<x<2 \\ 1 & 2\le x \end{array}\right.$

En $x\le0$ es una exponencial creciente que vale $5$ en el origen y se pega al eje $OX$ por la izquierda; entre $0$ y $2$ es un trozo de parábola de vértice $(2,1)$, que baja desde $5$ hasta $1$; a partir de $x=2$ es la recta horizontal $y=1$.



Como $f(x)>0$ en todo el intervalo $[-1,3]$, el recinto queda por encima del eje $OX$ y su área es la integral de la función, que se parte en los tres trozos.

$A=\int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx+\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx+\int_{2}^{3}1\,dx$

$\int_{-1}^{0}5e^{2x}\,dx=\left[\dfrac{5}{2}e^{2x}\right]_{-1}^{0}=\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2e^{2}}$

$\int_{0}^{2}\left((x-2)^2+1\right)dx=\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}+x\right]_{0}^{2}=2-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{14}{3}$

$\int_{2}^{3}1\,dx=\big[x\big]_{2}^{3}=1$

Haciendo uso de la regla de Barrow en los tres sumandos y agrupando:

$A=\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2e^{2}}+\dfrac{14}{3}+1=\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2e^{2}}\approx 7{,}83\ \text{u}^2$

El área delimitada por la gráfica, el eje $OX$ y las rectas $x=-1$ y $x=3$ es $\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2e^{2}}$, es decir, unas $7{,}83$ unidades cuadradas.

$\textbf{c) Para }\boldsymbol{m=-2}\textbf{, encuentre un punto donde la recta tangente a }\boldsymbol{y=f(x)}\textbf{ sea paralela a }\boldsymbol{y=-2x}\textbf{. Calcule la ecuación de esta recta tangente. (0,5 puntos)}$

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, así que buscamos los puntos en los que la derivada valga $-2$. Estudiamos los tres trozos por separado.

$x<0:\ f'(x)=10e^{2x}>0$, que nunca vale $-2$; $x>2:\ f'(x)=0$, que tampoco. Queda el trozo central.

$f'(x)=2(x-2)=-2 \Rightarrow x-2=-1 \Rightarrow x=1$

El valor $x=1$ sí pertenece al intervalo $(0,2)$, y la ordenada del punto es

$f(1)=(1-2)^2+1=2$

$y-2=-2(x-1) \Rightarrow y=-2x+4$

En el punto $(1,2)$ la recta tangente a la gráfica es $y=-2x+4$, paralela a $y=-2x$.