Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

PREGUNTA 1. Responda indicando y justificando la opción correcta:

1.1. Dado un planeta esférico de masa M con radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la Tierra, la relación entre la velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta respecto a la velocidad de escape de dicho objeto desde la superficie de la Tierra es: a) 0,5; b) 0,7; c) 4.
1.2. La ecuación de Einstein $E = mc^2$ implica que: a) una masa $m$ necesita una energía $E$ para ponerse en movimiento; b) la energía $E$ es la que tiene una masa $m$ cuando va a la velocidad da luz; c) $E$ es la energía equivalente a una masa $m$.

$\textbf{1.1. Dado un planeta esférico de masa M con radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la Tierra, la relación entre la velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta respecto a la velocidad de escape de dicho objeto desde la superficie de la Tierra es:}$

La respuesta correcta es la a): 0,5.

La velocidad de escape desde la superficie de un astro se obtiene imponiendo que el objeto llegue al infinito con velocidad nula:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2-\dfrac{G\,M\,m}{R}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

El dato clave es que la densidad es la misma, lo que fija la masa del planeta a partir de su radio:

$M=\rho\,\dfrac43\pi R^3$

Con $R=R_T/2$ y la misma densidad:

$\dfrac{M}{M_T}=\left(\dfrac{R}{R_T}\right)^3=\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$

Sustituimos en el cociente de velocidades de escape:

$\dfrac{v_{\text{esc}}}{v_e}=\sqrt{\dfrac{M/M_T}{R/R_T}}=\sqrt{\dfrac{1/8}{1/2}}=\sqrt{\dfrac14}$

$\dfrac{v_{\text{esc}}}{v_e}=0{,}5$

La velocidad de escape es la mitad de la terrestre. Se descarta la opción b), 0,7, que sale de olvidar que la masa también cambia y tomar solo $\sqrt{1/2}$.

$\textbf{1.2. La ecuación de Einstein } \boldsymbol{E=mc^2}\textbf{ implica que:}$

La respuesta correcta es la c): $E$ es la energía equivalente a una masa $m$.

La ecuación expresa la equivalencia entre masa y energía: la masa es una forma de energía, y una cantidad de masa $m$ equivale a una energía

$E=m\,c^2$

Esto no depende de que el cuerpo esté en movimiento ni de que se le comunique nada: es la energía en reposo del cuerpo. Por eso se descarta la opción b), que la ligaría a moverse a la velocidad de la luz, algo además imposible para un cuerpo con masa.

Y se descarta la a) porque la energía que hay que aportar para poner un cuerpo en movimiento es su energía cinética, que en relatividad es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

$E_c=\gamma\,m\,c^2-m\,c^2=(\gamma-1)\,m\,c^2$

La consecuencia práctica de la equivalencia es el defecto de masa: en las reacciones nucleares una parte de la masa desaparece y se libera como energía, tal y como ocurre en la fisión y en la fusión.