Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

8. Estadística y Probabilidad:

a) En una determinada población de árboles, el 20 % tienen más de 30 años. Si se eligen 40 árboles al azar, calcule la probabilidad de que solamente 4 de ellos tengan más de 30 años. El número total de árboles es tan grande que se puede asumir elección con reemplazo.
b) Si $X$ sigue una distribución normal de media 15 y $P(X \le 18) = 0.6915$, ¿cuál es la desviación típica?

$\textbf{a) En una determinada población de árboles, el 20 \% tienen más de 30 años. Si se eligen 40 árboles al azar, calcule la probabilidad de que solamente 4 de ellos tengan más de 30 años. El número total de árboles es tan grande que se puede asumir elección con reemplazo.}$

Sea $X$ el número de árboles, de entre los 40 elegidos, que tienen más de 30 años. Al poder suponer reemplazo, cada elección es independiente de las demás y la probabilidad se mantiene constante, así que

$X\sim B(40;\,0{,}20)$

Aplicamos la fórmula de la distribución binomial con $k=4$.

$P(X=4)=\binom{40}{4}(0{,}20)^{4}(0{,}80)^{36}$

$\binom{40}{4}=\dfrac{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=91\,390$

$P(X=4)=91\,390\cdot 0{,}0016\cdot 0{,}80^{36}=0{,}0475$

La probabilidad de que exactamente 4 de los 40 árboles tengan más de 30 años es de 0,0475, menos del 5 %.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{X}\textbf{ sigue una distribución normal de media 15 y } \boldsymbol{P(X \le 18) = 0{,}6915}\textbf{, ¿cuál es la desviación típica?}$

Ahora la incógnita es $\sigma$, así que tipificamos dejándola indicada.

$P(X\le 18)=P\left(Z\le\dfrac{18-15}{\sigma}\right)=P\left(Z\le\dfrac{3}{\sigma}\right)=0{,}6915$

Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor que deja esa probabilidad a su izquierda:

$P(Z\le 0{,}5)=0{,}6915 \Rightarrow \dfrac{3}{\sigma}=0{,}5$



$\sigma=\dfrac{3}{0{,}5}=6$

La desviación típica de la distribución es $\sigma=6$. Obsérvese que 18 queda a media desviación típica por encima de la media, lo que concuerda con que la probabilidad acumulada apenas supere el 0,5.