Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

PREGUNTA 4. Análisis.
Dada la función $f(x) = -4x^2 + 12x - 5$

a) Realice su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje OX y las rectas x=1, x=2.

$\textbf{a) Realice su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.}$

Cortes con los ejes. Si $x = 0$:

$f(0) = -5 \Rightarrow (0,-5)$

Si $y = 0$:

$-4x^2 + 12x - 5 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 12x + 5 = 0$

$x = \dfrac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{8} = \dfrac{12 \pm 8}{8} \Rightarrow \begin{cases} x = 0{,}5 \\ x = 2{,}5 \end{cases}$

Monotonía y extremo relativo:

$f'(x) = -8x + 12 \Rightarrow f'(x) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$

$f''(x) = -8 < 0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x = 1{,}5$ hay un máximo relativo. La función crece en $(-\infty\,;\,1{,}5)$ y decrece en $(1{,}5\,;\,+\infty)$.

$f(1{,}5) = -4 \cdot 2{,}25 + 18 - 5 = 4$



La gráfica es una parábola abierta hacia abajo con vértice en $(1{,}5\,;\,4)$, que corta al eje de abscisas en $(0{,}5\,;\,0)$ y $(2{,}5\,;\,0)$ y al de ordenadas en $(0,-5)$.

$\textbf{b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje OX y las rectas x=1, x=2.}$

El intervalo $[1,2]$ está contenido entre los dos cortes con el eje, así que la función es positiva en él y el área coincide con la integral definida.

$\text{Área} = \int_1^2 (-4x^2 + 12x - 5)\,dx = \left[-\dfrac{4x^3}{3} + 6x^2 - 5x\right]_1^2$

$= \left(-\dfrac{32}{3} + 24 - 10\right) - \left(-\dfrac{4}{3} + 6 - 5\right) = \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{11}{3}$



El área del recinto es de $\frac{11}{3} \approx 3{,}67$ unidades de área.