Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

PREGUNTA 3. Análisis.
El número de personas (en miles) que visitan cada año un parque temático viene dado por la función
$P(t) = \dfrac{180t}{t^2 + 9}, \ t \ge 0$ en donde t es el tiempo transcurrido en años desde su apertura en el año 2010 $(t = 0)$.

a) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento del número de visitantes.
b) ¿En qué año recibió el mayor número de visitantes? ¿A cuánto ascienden? Razone las respuestas.
c) ¿A partir de qué año el número de visitantes será inferior a 18000 personas? ¿Qué ocurrirá con el número de visitantes con el paso del tiempo? Razone las respuestas.

$\textbf{a) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento del número de visitantes.}$

Derivamos aplicando la regla del cociente.

$P'(t) = \dfrac{180(t^2+9) - 180t\cdot 2t}{(t^2+9)^2} = \dfrac{180(9 - t^2)}{(t^2+9)^2}$

$P'(t) = 0 \Rightarrow 9 - t^2 = 0 \Rightarrow t = \pm 3$

Se descarta la solución negativa porque el enunciado exige $t \ge 0$. El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $9 - t^2$.

$\begin{cases} \text{Si } t = 1, \quad 9 - 1 = 8 > 0 \\ \text{Si } t = 4, \quad 9 - 16 = -7 < 0 \end{cases}$



El número de visitantes crece durante los tres primeros años y decrece a partir del tercero.

$\textbf{b) ¿En qué año recibió el mayor número de visitantes? ¿A cuánto ascienden? Razone las respuestas.}$

Por el apartado anterior la función pasa de crecer a decrecer en $t = 3$, luego ahí está el máximo absoluto.

$P(3) = \dfrac{180 \cdot 3}{3^2 + 9} = \dfrac{540}{18} = 30$

Como el parque abrió en 2010 y $t$ cuenta los años transcurridos, el mayor número de visitantes se produjo en 2013 y ascendió a 30 mil personas, es decir, 30.000 visitantes.

$\textbf{c) ¿A partir de qué año el número de visitantes será inferior a 18000 personas? ¿Qué ocurrirá con el número de visitantes con el paso del tiempo? Razone las respuestas.}$

Resolvemos la inecuación $P(t) < 18$, ya que la función viene dada en miles de personas. Como el denominador es siempre positivo, se puede multiplicar sin cambiar el sentido.

$\dfrac{180t}{t^2+9} < 18 \Rightarrow 180t < 18t^2 + 162 \Rightarrow 18t^2 - 180t + 162 > 0$

$t^2 - 10t + 9 > 0 \Rightarrow (t-1)(t-9) > 0 \Rightarrow t < 1 \ \text{ o } \ t > 9$

La primera rama corresponde a la etapa inicial, cuando el parque acababa de abrir. La que interesa aquí es la segunda: en $t = 9$ el parque recibe exactamente 18.000 visitantes.

A partir del noveno año, es decir, después de 2019, el número de visitantes será inferior a 18.000 personas.

Para el comportamiento a largo plazo calculamos el límite en el infinito.

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{180t}{t^2+9} = 0$

El grado del denominador es mayor que el del numerador, de modo que con el paso del tiempo el número de visitantes tiende a cero: el parque acabaría quedándose sin público.