Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 1. Álgebra.
Consideramos las matrices
$A = \begin{pmatrix} a & a & 1 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} b & -b & 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} c & -3 & 1 \\ c & 0 & 0 \end{pmatrix}$

a) Calcule las matrices A+B y 3C-B.
b) Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones que se obtiene al plantear A+B = 3C-B y resuélvalo.

$\textbf{a) Calcule las matrices A+B y 3C-B.}$

Las tres matrices son del mismo orden, $2 \times 3$, así que se suman y se restan elemento a elemento.

$A + B = \begin{pmatrix} a & a & 1 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & -b & 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & a-b & 2 \\ a+3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$3C = \begin{pmatrix} 3c & -9 & 3 \\ 3c & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$3C - B = \begin{pmatrix} 3c & -9 & 3 \\ 3c & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b & -b & 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3c-b & -9+b & 2 \\ 3c-3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones que se obtiene al plantear A+B = 3C-B y resuélvalo.}$

Igualamos las dos matrices elemento a elemento. Los elementos de la tercera columna coinciden ya (valen 2 los dos) y los de la segunda fila que son nulos no aportan nada, así que quedan tres ecuaciones.

$\begin{cases} a + b = 3c - b \\ a - b = -9 + b \\ a + 3 = 3c - 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + 2b - 3c = 0 \\ a - 2b = -9 \\ a - 3c = -6 \end{cases}$

En forma matricial, con las incógnitas $a$, $b$ y $c$:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ -6 \end{pmatrix}$

Para resolverlo restamos la tercera ecuación de la primera, con lo que desaparecen $a$ y $c$.

$(a + 2b - 3c) - (a - 3c) = 0 - (-6) \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$

$a - 2 \cdot 3 = -9 \Rightarrow a = -3$

$-3 - 3c = -6 \Rightarrow 3c = 3 \Rightarrow c = 1$

El sistema es compatible determinado y su solución es $a = -3$, $b = 3$ y $c = 1$.