Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

PREGUNTA 3. Análisis.
Los gastos financieros de una organización, en cientos de miles de euros, siguen la función: $G(t) = \begin{cases} 4 - \left(\dfrac{t}{3}\right), & 0 \le t \le 3 \\[6pt] (5t-3)/(t+1), & t > 3 \end{cases}$ siendo $t$ el tiempo en años transcurridos.

a) ¿En qué momento los gastos son iguales a 400.000 euros? Razona la respuesta.
b) ¿Cuándo crece $G(t)$? ¿Cuándo decrece $G(t)$? ¿Cuándo los gastos alcanzan su valor mínimo y cuánto valen?
c) ¿Qué ocurre con los gastos cuando el número de años crece indefinidamente?

$\textbf{a) ¿En qué momento los gastos son iguales a 400.000 euros? Razona la respuesta.}$

Como la función viene dada en cientos de miles de euros, 400.000 euros corresponden a $G(t) = 4$. Hay que resolver la ecuación en cada trozo.

En el primer trozo:

$4 - \dfrac{t}{3} = 4 \Rightarrow \dfrac{t}{3} = 0 \Rightarrow t = 0$

En el segundo trozo:

$\dfrac{5t-3}{t+1} = 4 \Rightarrow 5t - 3 = 4t + 4 \Rightarrow t = 7$

El valor $t = 7$ sí pertenece al segundo trozo, que exige $t > 3$.

Los gastos son iguales a 400.000 euros en dos momentos: al inicio del periodo, $t = 0$, y a los 7 años.

$\textbf{b) ¿Cuándo crece } \boldsymbol{G(t)}\textbf{? ¿Cuándo decrece } \boldsymbol{G(t)}\textbf{? ¿Cuándo los gastos alcanzan su valor mínimo y cuánto valen?}$

Derivamos cada trozo por separado.

$G'(t) = \begin{cases} -\dfrac{1}{3} & 0 < t < 3 \\ \dfrac{5(t+1) - (5t-3)}{(t+1)^2} = \dfrac{8}{(t+1)^2} & t > 3 \end{cases}$

En el primer trozo la derivada es constante y negativa, así que la función decrece. En el segundo, $\frac{8}{(t+1)^2}$ es siempre positiva, de modo que la función crece.



Los gastos decrecen durante los tres primeros años y crecen a partir del tercero. En $t = 3$ pasan de decrecer a crecer, así que ahí está el mínimo; comprobamos además que los dos trozos empalman sin salto.

$G(3) = 4 - \dfrac{3}{3} = 3 \qquad \lim_{t\to 3^+} \dfrac{5t-3}{t+1} = \dfrac{12}{4} = 3$

Los gastos alcanzan su valor mínimo a los 3 años y valen 3 cientos de miles de euros, es decir, 300.000 euros.

$\textbf{c) ¿Qué ocurre con los gastos cuando el número de años crece indefinidamente?}$

Calculamos el límite del segundo trozo en el infinito, que es el que rige a largo plazo. Al tener numerador y denominador el mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{5t-3}{t+1} = 5$

Con el paso de los años los gastos crecen, pero se estabilizan tendiendo a 5 cientos de miles de euros, es decir, 500.000 euros, valor al que se acercan sin llegar a alcanzarlo. La recta $y = 5$ es una asíntota horizontal de la función.