Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2025

Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 4 Hz y una amplitud de 6 cm. Si la perturbación se propaga de izquierda a derecha con una velocidad de 1 m/s, escriba la expresión (ecuación de la onda) que representa el movimiento por la cuerda. Las condiciones iniciales son: $t = 0\ \text{s}$; $x = 0\ \text{cm}$; $y = -6\ \text{cm}$. [1,25 puntos]

$\textbf{Escriba la expresión (ecuación de la onda) que representa el movimiento por la cuerda. [1,25 puntos]}$

Se trata de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje $X$, de modo que su ecuación tiene la forma

$y(x,t) = A\operatorname{sen}(\omega t - k x + \varphi_0)$

Calculamos una a una las tres constantes a partir de los datos. La amplitud es la que da el enunciado:

$A = 6\ \text{cm} = 0{,}06\ \text{m}$

La frecuencia angular sale de la frecuencia de agitación:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot4 = 8\pi\ \text{rad/s}$

Y el número de ondas, de la longitud de onda, que se obtiene de la velocidad de propagación:

$\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{m}\Rightarrow k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = 8\pi\ \text{rad/m}$

La fase inicial se impone con las condiciones del enunciado: en $t = 0$ y $x = 0$ la elongación es $-6$ cm, es decir, la mínima posible.

$y(0,0) = 0{,}06\operatorname{sen}\varphi_0 = -0{,}06 \Rightarrow \operatorname{sen}\varphi_0 = -1$

$\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

La ecuación de la onda es, por tanto,

$y(x,t) = 0{,}06\operatorname{sen}\left(8\pi t - 8\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{(m)}$

que también puede escribirse, usando la relación entre el seno y el coseno, como

$y(x,t) = -0{,}06\cos\bigl(8\pi (t - x)\bigr)\ \text{(m)}$

Se comprueba de inmediato que en el origen y en el instante inicial vale $-0{,}06$ m, como pedía el enunciado.