Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Recientemente se ha descubierto un exoplaneta con posibilidad de albergar vida. Su nombre es «Gliese 12b» y orbita alrededor de su estrella con nombre «Gliese 12». El exoplaneta presenta un periodo de 12,8 días alrededor de su estrella y la distancia de separación entre ambos es de $1{,}05 \cdot 10^{7}\ \text{km}$ (de centro a centro). El radio del planeta es de 6000 km y su masa de $5 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$. El radio de la estrella es de $9 \cdot 10^{5}\ \text{km}$.

a) [1,25 puntos] Calcule la velocidad con la que orbita alrededor de la estrella y la masa de la estrella (deduzca razonadamente las expresiones).

b) [1,25 puntos] ¿Qué velocidad mínima deberíamos proporcionar a una sonda que se hubiera posado en el planeta para que pudiese escapar de la atracción del planeta? Deduzca razonadamente la expresión.

c) [1,25 puntos] Imagínese que un objeto astronómico impacta con el planeta. En la colisión se desprende un trozo pequeño de masa $m$ del planeta. Este trozo se detiene inmediatamente, y se dirige hacia la estrella con velocidad inicial cero. Halle la velocidad final con la que impactará sobre la superficie de la estrella suponiendo una masa de la estrella de $M = 5{,}6 \cdot 10^{29}\ \text{kg}$.

Datos: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcule la velocidad con la que orbita alrededor de la estrella y la masa de la estrella (deduzca razonadamente las expresiones).}$

Pasamos primero los datos al SI:

$d = 1{,}05\cdot10^{7}\ \text{km} = 1{,}05\cdot10^{10}\ \text{m}\qquad T = 12{,}8\ \text{días} = 12{,}8\cdot24\cdot3600 = 1{,}106\cdot10^{6}\ \text{s}$

La órbita es circular, así que la velocidad es la longitud de la circunferencia dividida entre el periodo:

$v = \dfrac{2\pi d}{T} = \dfrac{2\pi\cdot1{,}05\cdot10^{10}}{1{,}106\cdot10^{6}} = 5{,}97\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Para la masa de la estrella igualamos la atracción gravitatoria a la fuerza centrípeta que mantiene al planeta en la órbita:

$G\,\dfrac{M\,m}{d^2} = m\,\dfrac{v^2}{d}\Rightarrow M = \dfrac{v^2\,d}{G}$



$M = \dfrac{(5{,}97\cdot10^{4})^2\cdot1{,}05\cdot10^{10}}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 5{,}60\cdot10^{29}\ \text{kg}$

El exoplaneta orbita a unos 59,7 km/s y su estrella tiene una masa de $5{,}60\cdot10^{29}$ kg, poco más de la cuarta parte de la del Sol: se trata de una estrella pequeña. Nótese que la masa del planeta se simplifica y no interviene en el cálculo.

$\textbf{b) [1,25 puntos] ¿Qué velocidad mínima deberíamos proporcionar a una sonda que se hubiera posado en el planeta para que pudiese escapar de la atracción del planeta? Deduzca razonadamente la expresión.}$

La velocidad mínima es la de escape: la que deja a la sonda llegando al infinito con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, se conserva la energía mecánica entre la superficie del planeta y el infinito:

$\dfrac{1}{2}m\,v_e^2 - G\,\dfrac{M_p\,m}{R_p} = 0 + 0 \Rightarrow v_e = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M_p}{R_p}}$

Con $M_p = 5\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_p = 6000\ \text{km} = 6\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$v_e = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5\cdot10^{24}}{6\cdot10^{6}}} = 1{,}05\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Habría que lanzar la sonda a unos 10,5 km/s, valor muy parecido al terrestre porque el planeta tiene una masa y un radio del orden de los de la Tierra.

$\textbf{c) [1,25 puntos] Imagínese que un objeto astronómico impacta con el planeta. En la colisión se desprende un trozo pequeño de masa } \boldsymbol{m}\textbf{ del planeta. Este trozo se detiene inmediatamente, y se dirige hacia la estrella con velocidad inicial cero. Halle la velocidad final con la que impactará sobre la superficie de la estrella suponiendo una masa de la estrella de } \boldsymbol{M = 5{,}6 \cdot 10^{29}\ \text{kg}}\textbf{.}$

El trozo parte del reposo a la distancia $d$ del centro de la estrella y cae hasta su superficie, a la distancia $R = 9\cdot10^{5}\ \text{km} = 9\cdot10^{8}\ \text{m}$. Aplicamos la conservación de la energía mecánica en el campo de la estrella:

$-G\,\dfrac{M\,m}{d} = \dfrac{1}{2}m\,v^2 - G\,\dfrac{M\,m}{R}$

Se simplifica la masa del fragmento y se despeja la velocidad:

$v = \sqrt{2\,G\,M\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{d}\right)}$

$v = \sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}6\cdot10^{29}\left(\dfrac{1}{9\cdot10^{8}} - \dfrac{1}{1{,}05\cdot10^{10}}\right)}$

$v = \sqrt{7{,}47\cdot10^{19}\cdot1{,}016\cdot10^{-9}} = 2{,}75\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

El fragmento llegaría a la superficie de la estrella a unos 275 km/s. El resultado no depende de su masa, y es prácticamente la velocidad de escape desde la superficie de la estrella, porque la distancia de partida es más de diez veces el radio estelar.