Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 3. Responda indicando y justificando la opción correcta:

3.1. En una célula fotoeléctrica, el cátodo metálico se ilumina con una radiación de 175 nm de longitud de onda y el potencial de frenado es de 1 V. Al usar una luz de 250 nm, el potencial de frenado será: a) menor; b) mayor; c) igual.
3.2. Medimos nuestro pulso en la Tierra (en reposo) observando que el tiempo entre cada latido es de 0,80 s. Después hacemos la medida viajando en una nave espacial a la velocidad de 0,70 $c$, siendo $c$ la velocidad de la luz en el vacío. De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, el tiempo que medimos será: a) 1,12 s; b) 0,57 s; c) 0,80 s.

$\textbf{3.1. En una célula fotoeléctrica, el cátodo metálico se ilumina con una radiación de 175 nm de longitud de onda y el potencial de frenado es de 1 V. Al usar una luz de 250 nm, el potencial de frenado será:}$

La respuesta correcta es la a): menor.

El potencial de frenado es el que detiene a los fotoelectrones más rápidos, de modo que:

$|q_e|\,V_{\text{frenado}}=E_{c,\text{máx}}=h\,f-W$

Como el metal no cambia, el trabajo de extracción $W$ es el mismo y el potencial de frenado depende únicamente de la frecuencia de la radiación:

$V_{\text{frenado}}=\dfrac{h\,f-W}{|q_e|}=\dfrac{h\,c}{|q_e|\,\lambda}-\dfrac{W}{|q_e|}$

La segunda radiación tiene mayor longitud de onda y por tanto menor frecuencia:

$\lambda_2=250\ \text{nm}>\lambda_1=175\ \text{nm}\Rightarrow f_2<f_1$

Sus fotones son menos energéticos, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es menor y con ella el potencial de frenado: la respuesta es «menor».

Merece la pena ir un paso más allá. Con $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, el trabajo de extracción que se deduce de la primera experiencia es:

$f_1=\dfrac{c}{\lambda_1}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}75\cdot10^{-7}}=1{,}71\cdot10^{15}\ \text{Hz}$

$W=h\,f_1-|q_e|\,V_1=9{,}77\cdot10^{-19}\ \text{J}\Rightarrow f_0=\dfrac{W}{h}=1{,}47\cdot10^{15}\ \text{Hz}$

Y la frecuencia de la segunda radiación es:

$f_2=\dfrac{3\cdot10^{8}}{2{,}50\cdot10^{-7}}=1{,}20\cdot10^{15}\ \text{Hz}<f_0$

Está por debajo de la frecuencia umbral, así que con luz de 250 nm no hay emisión de fotoelectrones y el potencial de frenado es nulo: menor, en efecto, y de hecho el valor más pequeño posible.

$\textbf{3.2. Medimos nuestro pulso en la Tierra (en reposo) observando que el tiempo entre cada latido es de 0,80 s. Después hacemos la medida viajando en una nave espacial a la velocidad de 0,70 } \boldsymbol{c}\textbf{. De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, el tiempo que medimos será:}$

La respuesta correcta es la c): 0,80 s.

La clave está en quién mide. Al viajar en la nave, nosotros y nuestro corazón estamos en reposo el uno respecto del otro: el sistema de referencia es el propio, y el tiempo que medimos es el tiempo propio.

$\Delta t_p=0{,}80\ \text{s}$

La dilatación temporal solo aparece para un observador respecto del cual el suceso se mueve. Un observador en la Tierra vería nuestros latidos más espaciados:

$\Delta t=\gamma\,\Delta t_p=\dfrac{0{,}80}{\sqrt{1-0{,}70^2}}=\dfrac{0{,}80}{0{,}714}=1{,}12\ \text{s}$

Ese es el valor de la opción a), pero corresponde a la medida del terrestre, no a la nuestra. Se descarta también la b), 0,57 s, que sale de dividir por el factor de Lorentz en lugar de multiplicar. Nosotros, dentro de la nave, no notamos nada raro: nuestro pulso sigue midiendo 0,80 s entre latidos.