Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

En el laboratorio del instituto se mide el tiempo que tarda un péndulo simple en describir oscilaciones de pequeña amplitud, con el fin de determinar el valor de la aceleración de la gravedad. Responda a las siguientes cuestiones. [1,25 puntos]

a) Si se repite la experiencia con otra bola de masa distinta, ¿se obtendrán los mismos resultados? ¿Por qué?

b) ¿Qué longitud debería tener el hilo para que el periodo fuera el doble del obtenido?

c) En la Luna, donde la gravedad viene a ser 6 veces menor que en la Tierra, ¿cuál sería el periodo de un péndulo, si en la Tierra su periodo es de 2 segundos?

El periodo de un péndulo simple que oscila con amplitud pequeña es

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

donde $L$ es la longitud del hilo y $g$ la aceleración de la gravedad. Toda la cuestión se responde leyendo esta expresión.

$\textbf{a) Si se repite la experiencia con otra bola de masa distinta, ¿se obtendrán los mismos resultados? ¿Por qué?}$

Sí: se obtienen los mismos resultados. En la fórmula del periodo no aparece la masa, porque la fuerza recuperadora es la componente tangencial del peso, $-m\,g\operatorname{sen}\theta$, y al aplicar la segunda ley de Newton la masa se simplifica con la del término $m\,a$. Es el mismo motivo por el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración: la masa inercial y la gravitatoria coinciden.

$\textbf{b) ¿Qué longitud debería tener el hilo para que el periodo fuera el doble del obtenido?}$

Escribimos el periodo para la nueva longitud e imponemos que sea el doble:

$T' = 2\,T \Rightarrow 2\pi\sqrt{\dfrac{L'}{g}} = 2\cdot2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

$\sqrt{L'} = 2\sqrt{L}\Rightarrow L' = 4\,L$

Habría que cuadruplicar la longitud del hilo, ya que el periodo va con la raíz cuadrada de la longitud.

$\textbf{c) En la Luna, donde la gravedad viene a ser 6 veces menor que en la Tierra, ¿cuál sería el periodo de un péndulo, si en la Tierra su periodo es de 2 segundos?}$

El mismo péndulo (misma $L$) en un lugar donde $g_L = g/6$:

$\dfrac{T_L}{T} = \dfrac{2\pi\sqrt{L/g_L}}{2\pi\sqrt{L/g}} = \sqrt{\dfrac{g}{g_L}} = \sqrt6$

$T_L = 2\sqrt6 = 4{,}90\ \text{s}$

En la Luna el péndulo oscilaría más despacio: su periodo sería de 4,90 s, unas 2,45 veces el terrestre.