Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2025

Dos esferas conductoras, de radios $R_1 = 90\ \text{cm}$ y $R_2 = 45\ \text{cm}$, están cargadas de modo que sus superficies están a un potencial, respecto del infinito, de $V_1 = 10\ \text{V}$ y $V_2 = 20\ \text{V}$, respectivamente. Las esferas se encuentran en una zona del espacio vacío y con sus centros separados a gran distancia. Calcule la carga que quedará en cada esfera si ambas se unen mediante un conductor de capacidad despreciable. [1,25 puntos]

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$.

$\textbf{Calcule la carga que quedará en cada esfera si ambas se unen mediante un conductor de capacidad despreciable. [1,25 puntos]}$

En un conductor esférico en equilibrio toda la carga se reparte por la superficie y el potencial vale, respecto del infinito,

$V = K\,\dfrac{Q}{R}\Rightarrow Q = \dfrac{V\,R}{K}$

Con eso calculamos la carga de cada esfera antes de unirlas:

$Q_1 = \dfrac{10\cdot0{,}90}{9\cdot10^{9}} = 1\cdot10^{-9}\ \text{C}\qquad Q_2 = \dfrac{20\cdot0{,}45}{9\cdot10^{9}} = 1\cdot10^{-9}\ \text{C}$

$Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 2\cdot10^{-9}\ \text{C}$

Al unirlas con el hilo forman un único conductor: la carga se redistribuye hasta que las dos superficies quedan al mismo potencial. Como están muy separadas, cada una sigue comportándose como una esfera aislada.



$V_1' = V_2' \Rightarrow K\,\dfrac{q_1}{R_1} = K\,\dfrac{q_2}{R_2} \Rightarrow \dfrac{q_1}{q_2} = \dfrac{R_1}{R_2} = 2$

Junto con la conservación de la carga, $q_1 + q_2 = 2\cdot10^{-9}\ \text{C}$, queda

$q_1 = \dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,Q_{\text{total}} = \dfrac{0{,}90}{1{,}35}\cdot2\cdot10^{-9} = 1{,}33\cdot10^{-9}\ \text{C}$

$q_2 = \dfrac{R_2}{R_1+R_2}\,Q_{\text{total}} = \dfrac{0{,}45}{1{,}35}\cdot2\cdot10^{-9} = 6{,}67\cdot10^{-10}\ \text{C}$

La esfera grande se queda con $1{,}33$ nC y la pequeña con $0{,}67$ nC, y el potencial común resulta

$V = K\,\dfrac{q_1}{R_1} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1{,}33\cdot10^{-9}}{0{,}90} = 13{,}3\ \text{V}$

que está, como debe ser, entre los 10 V y los 20 V de partida: la carga ha fluido de la esfera pequeña (a mayor potencial) a la grande.