Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla-La Mancha · 2025

A una distancia de 5 cm a la izquierda de una lente divergente de 10 dioptrías de potencia, se sitúa un objeto de 10 cm de altura.

a) [1,25 puntos] Realice un trazado de rayos para localizar la posición y el tamaño de la imagen, explicando las reglas de trazado para los rayos que use. Indique las características de la imagen.

b) [1,25 puntos] Determine numéricamente la posición de la imagen y su tamaño, así como el aumento lateral de este sistema óptico.

c) [1,25 puntos] Si sustituimos la lente por una lente convergente con la misma potencia, calcule la posición de la imagen y su tamaño. Realice un trazado de rayos para ilustrarlo, indicando razonadamente si la imagen es real o virtual.

Trabajamos con el criterio de signos DIN: la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico y son negativas a la izquierda. La lente es divergente, de modo que su potencia y su focal imagen son negativas:

$P = -10\ \text{D}\Rightarrow f' = \dfrac{1}{P} = -0{,}10\ \text{m} = -10\ \text{cm}$

$s = -5\ \text{cm}\qquad y = 10\ \text{cm}$

$\textbf{a) [1,25 puntos] Realice un trazado de rayos para localizar la posición y el tamaño de la imagen, explicando las reglas de trazado para los rayos que use. Indique las características de la imagen.}$

Se trazan desde el extremo del objeto los tres rayos habituales:

i) el rayo paralelo al eje óptico emerge de la lente como si viniera del foco imagen $F'$, que en una lente divergente está a la izquierda;

ii) el rayo que pasa por el centro óptico no se desvía;

iii) el rayo dirigido hacia el foco objeto $F$ emerge paralelo al eje.



Los rayos emergentes son divergentes y no llegan a cortarse: lo que se cortan son sus prolongaciones hacia atrás, dibujadas a trazos. La imagen es, por tanto, virtual, derecha y menor que el objeto, y está situada entre el objeto y la lente. Es lo que ocurre siempre con una lente divergente, sea cual sea la posición del objeto.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Determine numéricamente la posición de la imagen y su tamaño, así como el aumento lateral de este sistema óptico.}$

Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'} \Rightarrow \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{-10} + \dfrac{1}{-5}$

$\dfrac{1}{s'} = -0{,}30\ \text{cm}^{-1}\Rightarrow s' = -3{,}33\ \text{cm}$

El aumento lateral es el cociente entre las distancias imagen y objeto:

$\beta = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-3{,}33}{-5} = 0{,}667$

$y' = \beta\,y = 0{,}667\cdot10 = 6{,}67\ \text{cm}$

La imagen se forma a 3,33 cm a la izquierda de la lente (virtual), mide 6,67 cm y es derecha, ya que el aumento es positivo y menor que la unidad. Coincide con lo que anticipaba el trazado de rayos.

$\textbf{c) [1,25 puntos] Si sustituimos la lente por una lente convergente con la misma potencia, calcule la posición de la imagen y su tamaño. Realice un trazado de rayos para ilustrarlo, indicando razonadamente si la imagen es real o virtual.}$

Ahora $f' = +10\ \text{cm}$ y el objeto, a 5 cm, queda entre el foco y la lente.

$\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-5} = -0{,}10\ \text{cm}^{-1}\Rightarrow s' = -10\ \text{cm}$

$\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-10}{-5} = 2 \Rightarrow y' = 2\cdot10 = 20\ \text{cm}$



Que $s'$ salga negativa significa que la imagen está del mismo lado que el objeto, formada por las prolongaciones de los rayos: es virtual, y por tanto no se puede recoger en una pantalla. Además es derecha y de doble tamaño, 20 cm, situada a 10 cm a la izquierda de la lente. Es el funcionamiento de la lupa: objeto dentro de la distancia focal de una lente convergente.