Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2025

En un espectrómetro de masas, dos partículas cargadas, P1 y P2, de masas iguales $m = 5 \cdot 10^{-6}\ \text{kg}$, entran en una región donde existe un campo magnético uniforme perpendicular ($B = 0{,}50\ \text{T}$) orientado según se indica en la figura (el aspa indica que $\vec{B}$ entra hacia dentro de la hoja). A su entrada, las dos partículas tienen la misma velocidad, $v = 100\ \text{m/s}$. Una vez dentro, las partículas se separan siguiendo las trayectorias semicirculares indicadas, siendo $x_1 = 10\ \text{cm}$ (partícula P1) y $x_2 = 40\ \text{cm}$ (partícula P2).

a) [1,25 puntos] Explique razonadamente el signo de la carga de cada partícula y determine el valor de dichas cargas.

b) [1,25 puntos] Calcule la aceleración debida a la fuerza magnética que actúa sobre cada una de las partículas y determine el tiempo invertido por las partículas en recorrer su respectiva trayectoria semicircular.

c) [1,25 puntos] En este experimento se tiene la posibilidad de incluir un campo eléctrico dentro de la parte recuadrada. Especifique el vector campo eléctrico para que las partículas al entrar en el recuadro sigan una trayectoria rectilínea y no se desvíen.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Explique razonadamente el signo de la carga de cada partícula y determine el valor de dichas cargas.}$

Las dos partículas entran hacia arriba, $\vec v = v\,\vec\jmath$, en un campo entrante en la hoja, $\vec B = -B\,\vec k$. El producto vectorial que aparece en la fuerza de Lorentz es

$\vec v\times\vec B = v\,\vec\jmath\times(-B\,\vec k) = -v\,B\,(\vec\jmath\times\vec k) = -v\,B\,\vec\imath$

es decir, apunta hacia la izquierda. La fuerza es $\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$, de modo que una carga positiva se curva hacia la izquierda y una negativa hacia la derecha.

En la figura, $P_1$ describe su semicircunferencia hacia la izquierda y $P_2$ hacia la derecha, luego $P_1$ tiene carga positiva y $P_2$, negativa.

La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, así que hace de centrípeta y la trayectoria es circular:

$|q|\,v\,B = \dfrac{m\,v^2}{r}\Rightarrow |q| = \dfrac{m\,v}{B\,r}$

Como cada partícula describe media circunferencia, la distancia entre el punto de entrada y el de salida es el diámetro:

$r_1 = \dfrac{x_1}{2} = 0{,}05\ \text{m}\qquad r_2 = \dfrac{x_2}{2} = 0{,}20\ \text{m}$

$|q_1| = \dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot100}{0{,}50\cdot0{,}05} = 2\cdot10^{-2}\ \text{C}$

$|q_2| = \dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot100}{0{,}50\cdot0{,}20} = 5\cdot10^{-3}\ \text{C}$

Las cargas son, por tanto, $q_1 = +2\cdot10^{-2}\ \text{C}$ y $q_2 = -5\cdot10^{-3}\ \text{C}$: la de menor radio es la de mayor carga, porque el radio es inversamente proporcional a ella.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule la aceleración debida a la fuerza magnética que actúa sobre cada una de las partículas y determine el tiempo invertido por las partículas en recorrer su respectiva trayectoria semicircular.}$

Al ser la fuerza magnética centrípeta, la aceleración es la normal del movimiento circular:

$a = \dfrac{v^2}{r}$

$a_1 = \dfrac{100^2}{0{,}05} = 2\cdot10^{5}\ \text{m/s}^2\qquad a_2 = \dfrac{100^2}{0{,}20} = 5\cdot10^{4}\ \text{m/s}^2$

El módulo de la velocidad no cambia (la fuerza magnética no realiza trabajo), de modo que el tiempo de cada semicircunferencia es la longitud del arco dividida entre la velocidad:

$t = \dfrac{\pi\,r}{v}$

$t_1 = \dfrac{\pi\cdot0{,}05}{100} = 1{,}57\cdot10^{-3}\ \text{s}\qquad t_2 = \dfrac{\pi\cdot0{,}20}{100} = 6{,}28\cdot10^{-3}\ \text{s}$

La partícula $P_2$ tarda cuatro veces más porque su radio es cuatro veces mayor.

$\textbf{c) [1,25 puntos] En este experimento se tiene la posibilidad de incluir un campo eléctrico dentro de la parte recuadrada. Especifique el vector campo eléctrico para que las partículas al entrar en el recuadro sigan una trayectoria rectilínea y no se desvíen.}$

Para que la trayectoria sea recta la fuerza total sobre la partícula ha de ser nula, es decir, la fuerza eléctrica debe cancelar a la magnética:

$\vec F = q\,\vec E + q\,(\vec v\times\vec B) = \vec 0 \Rightarrow \vec E = -\,\vec v\times\vec B$



$\vec E = -(-v\,B\,\vec\imath) = v\,B\,\vec\imath = 100\cdot0{,}50\,\vec\imath$

$\vec E = 50\,\vec\imath\ \text{V/m}$

El campo eléctrico debe valer 50 V/m y apuntar hacia la derecha, en el sentido positivo del eje $X$. Nótese que la condición no depende ni del signo ni del valor de la carga: la misma configuración deja pasar rectas a las dos partículas, que es como funciona un selector de velocidades.