Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Una inspectora de sanidad sabe que el 5 % de los restaurantes no pasará una inspección. Si elige 8 restaurantes al azar, calcule:

a) [0,75 puntos] La probabilidad de que tres restaurantes no pasen la inspección.

b) [0,75 puntos] La probabilidad de que todos los restaurantes pasen la inspección.

c) [1 punto] La probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección.

Llamamos $X$ al número de restaurantes que no pasan la inspección de los ocho elegidos. Cada restaurante la pasa o no la pasa con la misma probabilidad y de forma independiente, así que se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(8;\,0{,}05)$

Los valores se leen en la tabla de la binomial que acompaña al examen, en la columna $p=0{,}05$ de la fila $n=8$.

$\textbf{a) [0,75 puntos] La probabilidad de que tres restaurantes no pasen la inspección.}$

$P(X=3)=\binom{8}{3}\,0{,}05^{3}\,0{,}95^{5}=0{,}0054$

La probabilidad de que tres de los ocho restaurantes no pasen la inspección es $0{,}0054$, es decir, un $0{,}54\%$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] La probabilidad de que todos los restaurantes pasen la inspección.}$

Que todos la pasen equivale a que ninguno la suspenda.

$P(X=0)=\binom{8}{0}\,0{,}05^{0}\,0{,}95^{8}=0{,}6634$

La probabilidad de que los ocho restaurantes pasen la inspección es $0{,}6634$, es decir, un $66{,}34\%$.

$\textbf{c) [1 punto] La probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección.}$

Llamamos $Y$ al número de restaurantes que sí pasan la inspección, de modo que $Y=8-X$. Que al menos dos la pasen es el suceso contrario de que la pasen uno o ninguno, es decir, de que la suspendan siete u ocho.

$P(Y\geq2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-P(X=8)-P(X=7)$

$P(X=8)=0{,}05^{8}\approx0,\qquad P(X=7)=\binom{8}{7}\,0{,}05^{7}\,0{,}95\approx0$

$P(Y\geq2)=1-0{,}0000-0{,}0000=1$

Los dos sumandos son nulos hasta la cuarta cifra decimal de la tabla, de modo que la probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección es prácticamente $1$: con un $5\%$ de suspensos es casi imposible que siete u ocho de los ocho fallen a la vez.