Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 4x + 2y = a \\ ax + y + z = 1 \end{cases}$

a) [1,5 puntos] Discuta la resolución del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro $a \in \mathbb{R}$ e indique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Para $a = 0$, resuelva el sistema de ecuaciones, de forma razonada.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Discuta la resolución del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ e indique el número de soluciones en cada caso.}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada.

$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\4&2&0\\a&1&1\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\begin{pmatrix}1&1&-1&2\\4&2&0&a\\a&1&1&1\end{pmatrix}$

Estudiamos el rango de $A$ mediante su determinante, desarrollado por la primera fila.

$|A|=1\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}4&0\\a&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}4&2\\a&1\end{vmatrix}=2-4-(4-2a)=2a-6$

$|A|=0\Rightarrow a=3$

• Si $a\neq3$, entonces $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3$, que coincide con el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

• Si $a=3$, el menor

$\begin{vmatrix}1&1\\4&2\end{vmatrix}=-2\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&1&2\\4&2&3\\3&1&1\end{vmatrix}=2+9+8-12-3-4=0$

$\begin{vmatrix}1&-1&2\\4&0&3\\3&1&1\end{vmatrix}=0-9+8-0-3+4=0$

Los menores de orden tres de la ampliada son todos nulos, luego $\operatorname{ran}(A^{*})=2$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones, que dependen de un parámetro.

$\textbf{b) [1 punto] Para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, resuelva el sistema de ecuaciones, de forma razonada.}$

Con $a=0$ estamos en el caso compatible determinado y el sistema queda

$\begin{cases}x+y-z=2\\4x+2y=0\\y+z=1\end{cases}$

De la segunda ecuación se despeja $y$ y de la tercera $z$, ambas en función de $x$.

$4x+2y=0\Rightarrow y=-2x$

$y+z=1\Rightarrow z=1-y=1+2x$

Sustituimos las dos en la primera ecuación, que ya solo tiene una incógnita.

$x+(-2x)-(1+2x)=2\Rightarrow -3x-1=2\Rightarrow x=-1$

$y=-2(-1)=2,\qquad z=1+2(-1)=-1$

La solución única para $a=0$ es $x=-1$, $y=2$, $z=-1$.