Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

a) [1 punto] Calcule la ecuación del plano $\pi'$ que pasa por $C(1,\,1,\,-2)$, es paralelo a la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1,\,0,\,3)$ y $B(0,\,4,\,-1)$ y perpendicular al plano $\pi \equiv -x + y + 2z = 1$.

b) [1,5 puntos] Determine los valores reales de $m \in \mathbb{R}$, para que los puntos $A(-1,\,2,\,3)$, $B(-1,\,0,\,-1)$, $C(2,\,-1,\,1)$ y $D(2,\,3,\,m)$ formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi'}\textbf{ que pasa por } \boldsymbol{C(1,\,1,\,-2)}\textbf{, es paralelo a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ que pasa por los puntos } \boldsymbol{A(1,\,0,\,3)}\textbf{ y } \boldsymbol{B(0,\,4,\,-1)}\textbf{ y perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi \equiv -x + y + 2z = 1}\textbf{.}$

El vector director de la recta y el normal del plano dado son

$\vec v_r=\overrightarrow{AB}=(0,4,-1)-(1,0,3)=(-1,4,-4),\qquad \vec n_{\pi}=(-1,1,2)$

Si $\pi'$ es paralelo a $r$, su normal es perpendicular a $\vec v_r$; y si es perpendicular a $\pi$, su normal también lo es a $\vec n_{\pi}$. El producto vectorial de ambos da esa normal.

$\vec n_{\pi'}=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&4&-4\\-1&1&2\end{vmatrix}=(12,6,3)$

Dividiendo entre $3$ tomamos $\vec n_{\pi'}=(4,2,1)$ e imponemos que pase por $C$.

$\pi'\equiv 4(x-1)+2(y-1)+1(z+2)=0$

$\pi'\equiv 4x+2y+z-4=0$

El plano pedido es $4x+2y+z-4=0$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Determine los valores reales de } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{, para que los puntos } \boldsymbol{A(-1,\,2,\,3)}\textbf{, } \boldsymbol{B(-1,\,0,\,-1)}\textbf{, } \boldsymbol{C(2,\,-1,\,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{D(2,\,3,\,m)}\textbf{ formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.}$

El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en un vértice.



$\overrightarrow{AB}=(0,-2,-4),\qquad \overrightarrow{AC}=(3,-3,-2),\qquad \overrightarrow{AD}=(3,1,m-3)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix}0&-2&-4\\3&-3&-2\\3&1&m-3\end{vmatrix}=6m-54$

$V=\dfrac{1}{6}\left|6m-54\right|=|m-9|=8$

$|m-9|=8\Rightarrow\begin{cases}m-9=8\Rightarrow m=17\\m-9=-8\Rightarrow m=1\end{cases}$

Los dos valores sirven, porque en ambos el producto mixto es distinto de cero y los cuatro puntos no llegan a ser coplanarios. Hay, pues, dos soluciones: $m=1$ y $m=17$.