Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Para las fiestas del Corpus Christi que se celebran en Toledo, se instalan toldos en las calles por las que transcurre la procesión. En una de ellas, los operarios colocan los siguientes puntos de apoyo: $A(0,\,1,\,-2)$, $B(1,\,2,\,0)$, $C(0,\,0,\,1)$ y $D(1,\,0,\,m)$, con $m \in \mathbb{R}$.

a) [1 punto] Calcule el valor de $m$ para que los cuatro puntos sean coplanarios.

b) [0,75 puntos] Determine la ecuación del plano $\pi$ que contiene al toldo.

c) [0,75 puntos] Si los adornos florales deben estar como mínimo a 1 metro de distancia del toldo y se ha colocado un adorno de flores en el punto $P(1,\,2,\,3)$, ¿estará correctamente ubicado?

$\textbf{a) [1 punto] Calcule el valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ para que los cuatro puntos sean coplanarios.}$

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto se anula.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,2),\qquad \overrightarrow{AC}=(0,-1,3),\qquad \overrightarrow{AD}=(1,-1,m+2)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix}1&1&2\\0&-1&3\\1&-1&m+2\end{vmatrix}=6-m$

$6-m=0\Rightarrow m=6$

Los cuatro puntos de apoyo son coplanarios cuando $m=6$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Determine la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que contiene al toldo.}$

El plano del toldo queda determinado por $A$ y por dos de los vectores anteriores, cuyo producto vectorial da el vector normal.

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&2\\0&-1&3\end{vmatrix}=(5,-3,-1)$

$\pi\equiv 5(x-0)-3(y-1)-1(z+2)=0$

$\pi\equiv 5x-3y-z+1=0$

Comprobamos que los otros tres puntos lo cumplen; en particular $D(1,0,6)$: $5-0-6+1=0$.

El plano que contiene al toldo es $5x-3y-z+1=0$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Si los adornos florales deben estar como mínimo a 1 metro de distancia del toldo y se ha colocado un adorno de flores en el punto } \boldsymbol{P(1,\,2,\,3)}\textbf{, ¿estará correctamente ubicado?}$

Basta medir la distancia del punto al plano con la fórmula habitual.



$d(P,\pi)=\dfrac{|5\cdot1-3\cdot2-3+1|}{\sqrt{5^2+(-3)^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-3|}{\sqrt{35}}$

$d(P,\pi)=\dfrac{3}{\sqrt{35}}=\dfrac{3\sqrt{35}}{35}\approx0{,}507\ \text{m}$

El adorno está a unos $0{,}507$ metros del toldo, menos del metro exigido: no está correctamente ubicado.