Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de 48 cm de largo por 30 cm de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).



a) [0,75 puntos] Determine el volumen de la caja.

b) [1 punto] Determine las dimensiones de la caja si se quiere que contenga el mayor volumen posible.

c) [0,75 puntos] Para poder transportar la caja cómodamente, se van a realizar dos aberturas. El área de cada una de ellas está encerrada por las curvas $f(t) = t^2 - 4t$ y $g(t) = 2t - 5$. Calcule el área de una de las aberturas.

$\textbf{a) [0,75 puntos] Determine el volumen de la caja.}$

Al recortar un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblar las cuatro pestañas, la caja queda con altura $x$ y con una base rectangular en la que cada dimensión de la plancha ha perdido dos veces ese lado.

$\text{largo}=48-2x,\qquad \text{ancho}=30-2x,\qquad \text{altura}=x$

$V(x)=x(48-2x)(30-2x)=4x^3-156x^2+1440x$

Para que las tres dimensiones sean positivas ha de ser $0<x<15$, que es el dominio del problema.

El volumen de la caja, en $\text{cm}^3$, es $V(x)=4x^3-156x^2+1440x$.

$\textbf{b) [1 punto] Determine las dimensiones de la caja si se quiere que contenga el mayor volumen posible.}$

Buscamos el máximo de $V$ en el intervalo $(0,15)$, así que derivamos e igualamos a cero.

$V'(x)=12x^2-312x+1440=12(x^2-26x+120)=12(x-6)(x-20)$

$V'(x)=0\Rightarrow x=6\ \text{o}\ x=20$

La solución $x=20$ se descarta por quedar fuera del dominio: no se puede recortar un cuadrado de $20$ cm de lado en una plancha de $30$ cm de ancho. Comprobamos con la segunda derivada que $x=6$ es máximo.

$V''(x)=24x-312\Rightarrow V''(6)=144-312=-168<0$

$V(6)=6\cdot36\cdot18=3888$

La caja de mayor volumen se obtiene recortando cuadrados de $6$ cm de lado: mide $36\times18\times6$ cm y su volumen es $3888\ \text{cm}^3$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Para poder transportar la caja cómodamente, se van a realizar dos aberturas. El área de cada una de ellas está encerrada por las curvas } \boldsymbol{f(t) = t^2 - 4t}\textbf{ y } \boldsymbol{g(t) = 2t - 5}\textbf{. Calcule el área de una de las aberturas.}$

Primero localizamos los puntos de corte de la parábola y la recta, que son los límites de integración.

$t^2-4t=2t-5\Rightarrow t^2-6t+5=0\Rightarrow t=\dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\dfrac{6\pm4}{2}$

$t=1,\qquad t=5$

Entre esos dos valores la recta va por encima de la parábola: en $t=3$ se tiene $g(3)=1$ y $f(3)=-3$. El área es, por tanto, la integral de la diferencia $g-f$.



$A=\displaystyle\int_{1}^{5}\bigl[(2t-5)-(t^2-4t)\bigr]\,dt=\int_{1}^{5}(-t^2+6t-5)\,dt$

$A=\left[-\dfrac{t^3}{3}+3t^2-5t\right]_{1}^{5}=\left(-\dfrac{125}{3}+75-25\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+3-5\right)$

$A=\dfrac{25}{3}-\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{32}{3}\approx10{,}67$

Cada abertura tiene un área de $\dfrac{32}{3}\approx10{,}67$ unidades cuadradas.