Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

Una empresa produce aparatos para medir distancias. Durante el proceso de calibración realiza una serie de experimentos para medir la distancia entre dos puntos, que están separados 1,5 metros entre sí. Debido al error de los aparatos, se sabe que los valores medidos siguen una distribución normal de media 1,5 m y varianza $0{,}64\ \text{m}^2$.

a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea de más de 2,1 m?

b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea superior a 0,9 m?

c) [1 punto] ¿Cuál es el valor de la distancia tal que el 80,51 % de las mediciones estarían por encima de él?

Llamamos $X$ a la distancia medida por el aparato, en metros. Según el enunciado sigue una distribución normal de media $\mu=1{,}5$ y varianza $\sigma^2=0{,}64$, de donde la desviación típica es

$\sigma=\sqrt{0{,}64}=0{,}8\Rightarrow X\sim N(1{,}5;\,0{,}8)$

Para poder usar la tabla tipificamos con $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-1{,}5}{0{,}8}\sim N(0,1)$.

$\textbf{a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea de más de 2,1 m?}$

$P(X>2{,}1)=P\left(Z>\dfrac{2{,}1-1{,}5}{0{,}8}\right)=P(Z>0{,}75)$

Como la tabla da probabilidades acumuladas, pasamos al suceso contrario.

$P(Z>0{,}75)=1-P(Z<0{,}75)=1-0{,}7734=0{,}2266$



La probabilidad de que la medición supere los $2{,}1$ m es $0{,}2266$, es decir, un $22{,}66\%$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea superior a 0,9 m?}$

$P(X>0{,}9)=P\left(Z>\dfrac{0{,}9-1{,}5}{0{,}8}\right)=P(Z>-0{,}75)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, la cola de la derecha de $-0{,}75$ mide lo mismo que la de la izquierda de $0{,}75$.

$P(Z>-0{,}75)=P(Z<0{,}75)=0{,}7734$



La probabilidad de que la medición supere los $0{,}9$ m es $0{,}7734$, es decir, un $77{,}34\%$.

$\textbf{c) [1 punto] ¿Cuál es el valor de la distancia tal que el 80,51 \% de las mediciones estarían por encima de él?}$

Buscamos el valor $k$ que deja a su derecha el $80{,}51\%$ de las mediciones. Tipificamos y pasamos a la probabilidad acumulada.

$P(X>k)=0{,}8051\Rightarrow P\left(Z>\dfrac{k-1{,}5}{0{,}8}\right)=0{,}8051$

$P\left(Z<\dfrac{k-1{,}5}{0{,}8}\right)=1-0{,}8051=0{,}1949$

La probabilidad acumulada es menor que $0{,}5$, luego el valor tipificado es negativo y hay que buscar su opuesto en la tabla: $1-0{,}1949=0{,}8051$ corresponde a $z=0{,}86$.

$\dfrac{k-1{,}5}{0{,}8}=-0{,}86\Rightarrow k=1{,}5-0{,}86\cdot0{,}8=1{,}5-0{,}688=0{,}812$



El $80{,}51\%$ de las mediciones están por encima de $0{,}812$ m.