Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} x + y + a \cdot z = 1 \\ x - 2z = a \\ 2x + y + z = 3 \end{cases}$

a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a = 0$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{, e identifique el número de soluciones en cada caso.}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, cuidando de dejar un hueco donde falta una incógnita.

$A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&0&-2\\2&1&1\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\begin{pmatrix}1&1&a&1\\1&0&-2&a\\2&1&1&3\end{pmatrix}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, y para ello empezamos por el determinante de $A$, desarrollándolo por la primera fila.

$|A|=1\begin{vmatrix}0&-2\\1&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&-2\\2&1\end{vmatrix}+a\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=2-5+a=a-3$

$|A|=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3$

• Si $a\neq3$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

• Si $a=3$, el determinante se anula, pero el menor

$\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor en la ampliada con la columna de los términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&3\\2&1&3\end{vmatrix}=0+6+1-0-3-3=1\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A^{*})=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^{*})$

El sistema es incompatible: no tiene ninguna solución.

En resumen, para $a\neq3$ el sistema es compatible determinado con solución única, y para $a=3$ es incompatible y no tiene solución.

$\textbf{b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{.}$

Para $a=0$ estamos en el caso compatible determinado, y el sistema queda

$\begin{cases}x+y=1\\x-2z=0\\2x+y+z=3\end{cases}$

De la segunda ecuación despejamos $x=2z$ y lo llevamos a la primera.

$2z+y=1\Rightarrow y=1-2z$

Sustituimos las dos en la tercera ecuación, que queda con una sola incógnita.

$2(2z)+(1-2z)+z=3\Rightarrow 4z+1-2z+z=3\Rightarrow 3z=2\Rightarrow z=\dfrac{2}{3}$

Deshacemos las sustituciones.

$x=2\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3},\qquad y=1-2\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$

La solución única del sistema para $a=0$ es $x=\dfrac{4}{3}$, $y=-\dfrac{1}{3}$, $z=\dfrac{2}{3}$.