Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sea la recta $r \equiv \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$ y el plano $\pi \equiv x - y + 3z = 0$.

a) [1,25 puntos] Determine la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.

b) [1,25 puntos] Calcule el ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$ teniendo en cuenta que se cortan en el punto $A(0,\,0,\,0)$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Determine la ecuación del plano que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

De la forma continua de $r$ leemos que pasa por $A(0,0,0)$ con vector director $\vec v_r=(1,-1,2)$, y de la ecuación de $\pi$ que su vector normal es $\vec n_{\pi}=(1,-1,3)$.

El plano buscado, que llamamos $\sigma$, contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$: su vector normal ha de ser perpendicular a $\vec v_r$ y a $\vec n_{\pi}$ a la vez, luego lo obtenemos como producto vectorial de ambos.

$\vec n_{\sigma}=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&2\\1&-1&3\end{vmatrix}=(-1,-1,0)$

Cambiando de signo, tomamos $\vec n_{\sigma}=(1,1,0)$. El plano pasa por $A(0,0,0)$, que es un punto de $r$:

$\sigma\equiv 1(x-0)+1(y-0)+0(z-0)=0\Rightarrow \sigma\equiv x+y=0$

Comprobamos que $r\subset\sigma$: los puntos de la recta son $(\lambda,-\lambda,2\lambda)$ y cumplen $\lambda+(-\lambda)=0$.

El plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$ es $x+y=0$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule el ángulo entre la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ teniendo en cuenta que se cortan en el punto } \boldsymbol{A(0,\,0,\,0)}\textbf{.}$

El ángulo $\alpha$ que forman una recta y un plano es el que forma la recta con su proyección sobre él, y es el complementario del que forman el director de la recta y la normal del plano. Por eso se calcula con el seno.



$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{|\vec v_r|\,|\vec n_{\pi}|}$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=1\cdot1+(-1)(-1)+2\cdot3=8$

$|\vec v_r|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6,\qquad|\vec n_{\pi}|=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{8}{\sqrt6\cdot\sqrt{11}}=\dfrac{8}{\sqrt{66}}=\dfrac{4\sqrt{66}}{33}\approx0{,}9847$

$\alpha=\operatorname{arcsen}(0{,}9847)\approx79{,}98^{\circ}$

La recta $r$ y el plano $\pi$ forman un ángulo de $79{,}98^{\circ}$, es decir, $79^{\circ}\,58'\,30''$: casi perpendiculares.