Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean las rectas $r_1 \equiv \dfrac{x+2}{1} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z+1}{1}$ y $r_2 \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{-1}$.

a) [1,25 puntos] Determine la ecuación de la recta $r_3$, cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que pasa por el punto $A(0,\,0,\,0)$.

b) [1,25 puntos] Calcule la distancia de la recta $r_2$ al punto $B(-1,\,-1,\,2)$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Determine la ecuación de la recta } \boldsymbol{r_3}\textbf{, cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{ y que pasa por el punto } \boldsymbol{A(0,\,0,\,0)}\textbf{.}$

Las dos rectas vienen dadas en forma continua, así que sus vectores directores se leen en los denominadores.

$\vec v_1=(1,-1,1),\qquad \vec v_2=(2,1,-1)$

Un vector perpendicular a los dos a la vez es su producto vectorial.

$\vec v_3=\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}$

$\vec v_3=\bigl((-1)(-1)-1\cdot1\bigr)\vec i-\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot2\bigr)\vec j+\bigl(1\cdot1-(-1)\cdot2\bigr)\vec k=(0,3,3)$

Como solo importa la dirección, tomamos el vector proporcional $(0,1,1)$. La recta $r_3$ pasa por el origen con esa dirección:

$r_3\equiv\begin{cases}x=0\\y=\lambda\\z=\lambda\end{cases},\quad\lambda\in\mathbb{R}$

En forma implícita, eliminando el parámetro,

$r_3\equiv\begin{cases}x=0\\y-z=0\end{cases}$

La recta pedida es la que pasa por el origen con vector director $(0,1,1)$, es decir, la intersección de los planos $x=0$ e $y=z$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule la distancia de la recta } \boldsymbol{r_2}\textbf{ al punto } \boldsymbol{B(-1,\,-1,\,2)}\textbf{.}$

De la forma continua de $r_2$ leemos un punto de paso y su vector director.

$P(1,1,1)\in r_2,\qquad \vec v_2=(2,1,-1)$

La distancia de un punto a una recta es la altura del paralelogramo que determinan $\overrightarrow{PB}$ y $\vec v_2$, es decir, el cociente entre el módulo de su producto vectorial y el módulo del director.



$\overrightarrow{PB}=(-1,-1,2)-(1,1,1)=(-2,-2,1)$

$\overrightarrow{PB}\times\vec v_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-2&-2&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=(1,0,2)$

$\left|\overrightarrow{PB}\times\vec v_2\right|=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt5$

$|\vec v_2|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt6$

$d(B,r_2)=\dfrac{\left|\overrightarrow{PB}\times\vec v_2\right|}{|\vec v_2|}=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\approx0{,}9129$

La distancia del punto $B$ a la recta $r_2$ es $\dfrac{\sqrt{30}}{6}\approx0{,}9129$ unidades.