Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

La concentración de virus activos en una muestra de sangre (en un tiempo $t$ desde que se tomó la muestra) se puede modelizar como una función $f(t) = 5(t+1)e^{-t}$, con $t \geq 0$.

a) [1,25 puntos] La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(t)$ mide cómo cambia la concentración de virus activos. Calcule el tiempo en el que este cambio toma el valor más pequeño posible, es decir, el tiempo $t$ en el que el valor de la derivada de $f(t)$ es mínimo.

b) [1,25 puntos] ¿Cuál sería el valor de la concentración de virus a largo plazo? Es decir, el valor cuando el tiempo tiende a infinito: $\lim_{t \to +\infty} f(t)$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] La pendiente de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f(t)}\textbf{ mide cómo cambia la concentración de virus activos. Calcule el tiempo en el que este cambio toma el valor más pequeño posible, es decir, el tiempo } \boldsymbol{t}\textbf{ en el que el valor de la derivada de } \boldsymbol{f(t)}\textbf{ es mínimo.}$

La pendiente de la recta tangente en cada instante es $f'(t)$, de modo que lo que se pide es el mínimo de la función derivada. Derivamos $f$ aplicando la regla del producto.

$f'(t)=5e^{-t}+5(t+1)\left(-e^{-t}\right)=5e^{-t}\bigl[1-(t+1)\bigr]=-5t\,e^{-t}$

Para localizar el mínimo de $f'$ derivamos otra vez y buscamos los puntos críticos.

$f''(t)=-5e^{-t}+5t\,e^{-t}=5e^{-t}(t-1)$

$f''(t)=0\Rightarrow 5e^{-t}(t-1)=0\Rightarrow t-1=0\Rightarrow t=1$

La exponencial nunca se anula, así que $t=1$ es el único punto crítico. El signo de $f''$ lo marca el factor $t-1$: es negativo en $(0,1)$ y positivo en $(1,+\infty)$.



La derivada $f'$ decrece antes de $t=1$ y crece después, luego en $t=1$ alcanza un mínimo, cuyo valor es

$f'(1)=-5\cdot1\cdot e^{-1}=-\dfrac{5}{e}\approx-1{,}8394$

El cambio de la concentración es el más pequeño posible al cabo de $t=1$ unidad de tiempo: ahí la concentración de virus activos disminuye a razón de $5/e\approx1{,}8394$ unidades por unidad de tiempo, que es su caída más rápida.

$\textbf{b) [1,25 puntos] ¿Cuál sería el valor de la concentración de virus a largo plazo? Es decir, el valor cuando el tiempo tiende a infinito: } \boldsymbol{\lim_{t \to +\infty} f(t)}\textbf{.}$

Al sustituir aparece la indeterminación $\infty\cdot0$, que deshacemos escribiendo la exponencial en el denominador para poder aplicar la regla de L'Hôpital.

$\lim_{t\to+\infty}5(t+1)e^{-t}=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{5(t+1)}{e^{t}}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)\stackrel{\text{L'H}}{=}\lim_{t\to+\infty}\dfrac{5}{e^{t}}=0$

A largo plazo la concentración de virus activos tiende a $0$: la muestra acaba sin virus activos.