Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 4. Desarrolle esta práctica:
En una experiencia para calcular el trabajo de extracción de un metal se observa que los fotoelectrones expulsados de su superficie por una luz de $4\times 10^{-7}$ m de longitud de onda en el vacío son frenados por una diferencia de potencial de 0,80 V. Y si la longitud de onda es de $3\times 10^{-7}$ m el potencial de frenado es 1,84 V.

a) Represente gráficamente la frecuencia frente al potencial de frenado.
b) Determine el trabajo de extracción a partir de la gráfica.

DATOS: $c = 3\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$; $h = 6{,}63\times 10^{-34}$ J·s; $|q_e| = 1{,}6\times 10^{-19}$ C.

$\textbf{a) Represente gráficamente la frecuencia frente al potencial de frenado.}$

El potencial de frenado es el que detiene a los fotoelectrones más rápidos, de modo que el trabajo eléctrico iguala su energía cinética máxima:

$|q_e|\,V_{\text{frenado}}=E_{c,\text{máx}}$

Sustituyendo en la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, $h\,f=W+E_{c,\text{máx}}$, y despejando la frecuencia, que es lo que va al eje de ordenadas:

$f=\dfrac{|q_e|}{h}\,V_{\text{frenado}}+\dfrac{W}{h}$

Es la ecuación de una recta $y=m\,x+n$ con:

$m=\dfrac{|q_e|}{h}\qquad n=\dfrac{W}{h}=f_0$

Calculamos las frecuencias de las dos radiaciones:

$f_1=\dfrac{c}{\lambda_1}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{4\cdot10^{-7}}=7{,}5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

$f_2=\dfrac{c}{\lambda_2}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{3\cdot10^{-7}}=1{,}0\cdot10^{15}\ \text{Hz}$

$V_{\text{frenado}}$ (V)	$0{,}80$	$1{,}84$ $f\ (10^{14}\ \text{Hz})$	$7{,}5$	$10{,}0$

La ordenada en el origen es positiva, como debe ser, porque es el cociente entre el trabajo de extracción y la constante de Planck, y coincide con la frecuencia umbral: la frecuencia mínima que arranca electrones, aquella para la que el potencial de frenado es nulo.

$\textbf{b) Determine el trabajo de extracción a partir de la gráfica.}$

Obtenemos primero la pendiente con los dos puntos experimentales:

$m=\dfrac{\Delta f}{\Delta V_{\text{frenado}}}=\dfrac{1{,}0\cdot10^{15}-7{,}5\cdot10^{14}}{1{,}84-0{,}80}$

$m=\dfrac{2{,}5\cdot10^{14}}{1{,}04}=2{,}40\cdot10^{14}\ \dfrac{\text{Hz}}{\text{V}}$

El valor concuerda con el teórico, ya que:

$\dfrac{|q_e|}{h}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}}=2{,}41\cdot10^{14}\ \dfrac{\text{Hz}}{\text{V}}$

La ordenada en el origen se obtiene sustituyendo uno de los puntos en la ecuación de la recta:

$f_0=f_1-m\,V_1=7{,}5\cdot10^{14}-2{,}40\cdot10^{14}\cdot0{,}80$

$f_0=5{,}58\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Y el trabajo de extracción es la energía del fotón de la frecuencia umbral:

$W=h\,f_0=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot5{,}58\cdot10^{14}$

$W=3{,}70\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W=\dfrac{3{,}70\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=2{,}31\ \text{eV}$

El trabajo de extracción del metal es $3{,}70\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}31\ \text{eV}$. La frecuencia umbral cae en el visible, en la zona del amarillo-verde, lo que es propio de los metales alcalinos.