Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2026

La ecuación de una onda viajera que se propaga por una cuerda tensa, en unidades SI, viene dada por:

$y(x,t) = 0{,}01\,\operatorname{sen}(100t - 10x)$

a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]

b) Calcule la velocidad de oscilación de la cuerda en el punto $x = 0$ m en el instante $t = 1$ s. [0,5 puntos]

c) Calcule la diferencia de fase entre dos puntos que, en el mismo instante, están separados 1 m. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]}$

Comparamos la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que viaja por una cuerda.

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-kx)\ \Longrightarrow\ A=0{,}01\ \text{m},\quad \omega=100\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1},\quad k=10\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$

Los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos, lo que indica que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$. La amplitud es el factor que multiplica al seno.

De la constante de propagación sale la longitud de onda y de la pulsación, la frecuencia.

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{10}=0{,}628\ \text{m}$

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{100}{2\pi}=15{,}9\ \text{Hz},\qquad T=\dfrac{1}{f}=0{,}0628\ \text{s}$

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{100}{10}=10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Se comprueba con $v=\lambda f=0{,}628\cdot15{,}9=10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

La onda se propaga hacia las $x$ positivas con amplitud $0{,}01\ \text{m}$, longitud de onda $0{,}628\ \text{m}$, frecuencia $15{,}9\ \text{Hz}$, periodo $0{,}0628\ \text{s}$ y velocidad $10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{b) Calcule la velocidad de oscilación de la cuerda en el punto }\boldsymbol{x = 0}\textbf{ m en el instante }\boldsymbol{t = 1}\textbf{ s. [0,5 puntos]}$

La velocidad de oscilación es la de cada punto de la cuerda en su vaivén transversal, y no debe confundirse con la de propagación: se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo, con $x$ fijo.

$v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=0{,}01\cdot100\cos(100t-10x)=1\cdot\cos(100t-10x)$

Sustituimos las coordenadas pedidas, con el argumento en radianes.

$v_y(0,1)=\cos(100)=0{,}862\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

En ese instante el punto $x=0$ sube a $0{,}862\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, valor bastante próximo al máximo posible, que es $A\omega=1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\textbf{c) Calcule la diferencia de fase entre dos puntos que, en el mismo instante, están separados 1 m. [0,5 puntos]}$

En un mismo instante la fase solo depende de la posición a través del término $-kx$, de modo que la diferencia de fase entre dos puntos es proporcional a su separación.

$\Delta\varphi=|{-k}\,\Delta x|=k\,\Delta x=10\cdot1=10\ \text{rad}$

Si se prefiere el valor reducido a una vuelta, basta restar $2\pi$.

$\Delta\varphi=10-2\pi=3{,}72\ \text{rad}$

Los dos puntos oscilan desfasados $10\ \text{rad}$, equivalentes a $3{,}72\ \text{rad}$ dentro de un mismo ciclo; no están en fase, cosa que solo ocurriría si la separación fuese un múltiplo entero de $\lambda=0{,}628\ \text{m}$.