Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cantabria · 2026

Dos partículas cargadas se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme, describiendo trayectorias de idéntico radio. [2,5 puntos]

a) Deduzca las expresiones para el radio y la frecuencia del movimiento de una de ellas. [1,5 puntos]

b) Si la masa de la primera es diez veces mayor y su carga es la cuarta parte de la segunda, ¿cuál será la relación entre sus velocidades? [1 punto]

$\textbf{a) Deduzca las expresiones para el radio y la frecuencia del movimiento de una de ellas. [1,5 puntos]}$

Sobre una carga que se mueve en un campo magnético actúa la fuerza de Lorentz.

$\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}$

Si la velocidad es perpendicular al campo, el producto vectorial tiene módulo máximo y la fuerza vale $F=qvB$. Esa fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, así que no realiza trabajo, no cambia el módulo de $\vec{v}$ y solo puede curvar la trayectoria: el movimiento resultante es circular uniforme y la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta.

$qvB=\dfrac{m\,v^{2}}{r}$

Simplificamos una velocidad en los dos miembros y despejamos el radio.

$r=\dfrac{m\,v}{q\,B}$

Para la frecuencia partimos de la relación entre velocidad lineal y periodo en un movimiento circular uniforme.

$v=\dfrac{2\pi r}{T}\Longrightarrow T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m\,v}{q\,B}=\dfrac{2\pi m}{q\,B}$

$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{q\,B}{2\pi m}$



El radio es $r=\frac{mv}{qB}$ y la frecuencia $f=\frac{qB}{2\pi m}$. Nótese que la frecuencia, llamada frecuencia de ciclotrón, no depende de la velocidad: una partícula más rápida describe un círculo mayor pero tarda lo mismo en recorrerlo.

$\textbf{b) Si la masa de la primera es diez veces mayor y su carga es la cuarta parte de la segunda, ¿cuál será la relación entre sus velocidades? [1 punto]}$

Las dos partículas están en el mismo campo y describen trayectorias del mismo radio, así que igualamos las dos expresiones del apartado anterior.

$\dfrac{m_1v_1}{q_1B}=\dfrac{m_2v_2}{q_2B}\Longrightarrow \dfrac{m_1v_1}{q_1}=\dfrac{m_2v_2}{q_2}$

Traducimos los datos del enunciado: $m_1=10\,m_2$ y $q_1=\frac{q_2}{4}$.

$\dfrac{10\,m_2\,v_1}{q_2/4}=\dfrac{m_2v_2}{q_2}\Longrightarrow \dfrac{40\,m_2\,v_1}{q_2}=\dfrac{m_2v_2}{q_2}$

Simplificamos $m_2$ y $q_2$, que aparecen en los dos miembros.

$40\,v_1=v_2\Longrightarrow \dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{1}{40}$

La primera partícula se mueve cuarenta veces más despacio que la segunda: al ser diez veces más masiva y llevar la cuarta parte de carga, solo puede mantener el mismo radio si su velocidad es cuarenta veces menor.