Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cantabria · 2026

Dos partículas cargadas se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme, describiendo trayectorias de idéntico radio. [2,5 puntos]

a) Deduzca las expresiones para el radio y la frecuencia del movimiento de una de ellas. [1,5 puntos]

b) Si la masa de la primera es diez veces mayor y su carga es la cuarta parte de la segunda, ¿cuál será la relación entre sus velocidades? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{expresiones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sobre una carga que se mueve en un campo magnético actúa la fuerza de Lorentz.

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

Si la velocidad es perpendicular al campo, el producto vectorial tiene módulo máximo y la fuerza vale $F=qvB$. Esa fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, así que no realiza trabajo, no cambia el módulo de $\vec{v}$ y solo puede curvar la trayectoria: el movimiento resultante es circular uniforme y la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta.

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Simplificamos una velocidad en los dos miembros y despejamos el radio.

$r={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$

Para la frecuencia partimos de la relación entre velocidad lineal y periodo en un movimiento circular uniforme.

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}⟹T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi }{v}}\cdot {\displaystyle \frac{mv}{qB}}={\displaystyle \frac{2\pi m}{qB}}$

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{qB}{2\pi m}}$



El radio es $r=\frac{mv}{qB}$ y la frecuencia $f=\frac{qB}{2\pi m}$. Nótese que la frecuencia, llamada frecuencia de ciclotrón, no depende de la velocidad: una partícula más rápida describe un círculo mayor pero tarda lo mismo en recorrerlo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{diez}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuarta}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{velocidades?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Las dos partículas están en el mismo campo y describen trayectorias del mismo radio, así que igualamos las dos expresiones del apartado anterior.

${\displaystyle \frac{m_1{v}_1}{q_{1}B}}={\displaystyle \frac{m_2{v}_2}{q_{2}B}}⟹{\displaystyle \frac{m_1{v}_1}{q_1}}={\displaystyle \frac{m_2{v}_2}{q_2}}$

Traducimos los datos del enunciado: $m_1=10m_2$ y $q_1=\frac{q_2}{4}$.

${\displaystyle \frac{10m_2{v}_1}{q_2\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{m_2{v}_2}{q_2}}⟹{\displaystyle \frac{40m_2{v}_1}{q_2}}={\displaystyle \frac{m_2{v}_2}{q_2}}$

Simplificamos $m_2$ y $q_2$, que aparecen en los dos miembros.

$40v_1=v_2⟹{\displaystyle \frac{v_1}{v_2}}={\displaystyle \frac{1}{40}}$

La primera partícula se mueve cuarenta veces más despacio que la segunda: al ser diez veces más masiva y llevar la cuarta parte de carga, solo puede mantener el mismo radio si su velocidad es cuarenta veces menor.