Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Considere los puntos $A = (0, 5, -1)$ y $B = (-3, 11, -10)$, y la recta

$r:\ \dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y + 2}{-2} = \dfrac{z}{3}$

Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Estudie la posición relativa de $r$ y la recta que contiene a $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área del triángulo formado por los vértices $A$, $B$ y un punto genérico de $r$. [1 punto]

c) Halle la ecuación general o implícita del plano que contiene a $r$ y $A$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de }\boldsymbol{r}\textbf{ y la recta que contiene a }\boldsymbol{A}\textbf{ y }\boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

De las ecuaciones continuas de $r$ leemos directamente un punto y un vector director, y el vector director de la otra recta es el que va de $A$ a $B$.

$P(3,-2,0)\in r,\qquad \vec{u}=(1,-2,3)$

$\vec{AB}=B-A=(-3-0,\;11-5,\;-10+1)=(-3,6,-9)$

Comparamos las dos direcciones: las coordenadas del segundo son proporcionales a las del primero.

$\vec{AB}=-3\,(1,-2,3)=-3\,\vec{u}$

Los vectores directores son proporcionales, así que las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguirlo comprobamos si $A$ está en $r$.

$\dfrac{0-3}{1}=-3,\qquad \dfrac{5+2}{-2}=-\dfrac{7}{2},\qquad -3\neq-\dfrac{7}{2}$

Las dos rectas tienen la misma dirección pero $A$ no pertenece a $r$: son paralelas y distintas.

$\textbf{b) Calcule el área del triángulo formado por los vértices }\boldsymbol{A}\textbf{, }\boldsymbol{B}\textbf{ y un punto genérico de }\boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados. Tomamos como tercer vértice un punto genérico de $r$, escrito en paramétricas.

$Q=(3+t,\,-2-2t,\,3t),\qquad t\in\mathbb{R}$

$\vec{AQ}=Q-A=(3+t,\;-7-2t,\;1+3t)$

Calculamos el producto vectorial con $\vec{AB}$ desarrollando el determinante simbólico.

$\vec{AQ}\times\vec{AB}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 3+t&-7-2t&1+3t\\ -3&6&-9\end{vmatrix}=(57,\,24,\,-3)$

Los términos en $t$ se cancelan, y era de esperar: como $\vec{AQ}$ solo cambia en un múltiplo de $\vec{AB}$ al mover $Q$ por la recta, el producto vectorial no se entera. Geométricamente, la base $AB$ y la altura, que es la distancia entre las dos paralelas, son las mismas para todos los puntos de $r$.

$\left|\vec{AQ}\times\vec{AB}\right|=\sqrt{57^{2}+24^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{3249+576+9}=\sqrt{3834}=3\sqrt{426}$

$S=\dfrac{1}{2}\left|\vec{AQ}\times\vec{AB}\right|=\dfrac{3\sqrt{426}}{2}\approx30{,}96$

El área vale $\frac{3\sqrt{426}}{2}\approx30{,}96$ unidades cuadradas, y es la misma cualquiera que sea el punto de $r$ que se elija como tercer vértice.

$\textbf{c) Halle la ecuación general o implícita del plano que contiene a }\boldsymbol{r}\textbf{ y }\boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Como $A$ no está en $r$, la recta y el punto determinan un único plano. Este queda fijado por el punto $P(3,-2,0)$ de la recta y por dos vectores independientes: el director de $r$ y el que une $P$ con $A$.

$\vec{PA}=A-P=(0-3,\;5+2,\;-1-0)=(-3,7,-1)$

El vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec{n}=\vec{u}\times\vec{PA}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-2&3\\ -3&7&-1\end{vmatrix}=(-19,-8,1)$

Cambiamos el signo, que sigue siendo normal al plano, y escribimos la ecuación imponiendo que pase por $P$.

$19(x-3)+8(y+2)-1\,(z-0)=0\Rightarrow 19x+8y-z-41=0$

Comprobamos que los tres puntos de referencia lo cumplen: para $A$, $0+40+1-41=0$; para $B$, $-57+88+10-41=0$; y para $P$, $57-16-0-41=0$.



El plano pedido es $19x+8y-z-41=0$, y por ser $r$ y $AB$ paralelas contiene también a la recta $AB$ entera.