Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Considere la siguiente función real:

$f(x) = \dfrac{x}{1 - \sqrt{x}}$

y responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Determine el dominio de definición de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule una primitiva de $f(x)$, que se haga nula en $x = 0$. [1,25 puntos]

c) Calcule el valor de $x$ para el cual $f(x)$ alcanza el valor máximo en $(1, \infty)$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Determine el dominio de definición de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Hay dos restricciones que imponer: el radicando de la raíz cuadrada no puede ser negativo y el denominador no puede anularse.

$x\geq0$

$1-\sqrt{x}=0\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1$

El valor $x=1$ es el único que anula el denominador y hay que excluirlo del intervalo anterior.

El dominio es $\operatorname{Dom}(f)=[0,1)\cup(1,+\infty)$.

$\textbf{b) Calcule una primitiva de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{, que se haga nula en }\boldsymbol{x = 0}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La raíz cuadrada sugiere el cambio de variable que la hace desaparecer.

$t=\sqrt{x}\Rightarrow x=t^{2},\qquad dx=2t\,dt$

$\displaystyle\int\dfrac{x}{1-\sqrt{x}}\,dx=\int\dfrac{t^{2}}{1-t}\,2t\,dt=\int\dfrac{2t^{3}}{1-t}\,dt$

El integrando es una fracción algebraica con el grado del numerador mayor que el del denominador, así que efectuamos la división entera.

$\dfrac{2t^{3}}{1-t}=-2t^{2}-2t-2+\dfrac{2}{1-t}$

Se comprueba multiplicando el cociente por $1-t$ y sumando el resto. Ahora la integral es inmediata término a término.

$\displaystyle\int\left(-2t^{2}-2t-2+\dfrac{2}{1-t}\right)dt=-\dfrac{2t^{3}}{3}-t^{2}-2t-2\ln|1-t|+C$

Deshacemos el cambio sustituyendo $t=\sqrt{x}$ y $t^{2}=x$.

$F(x)=-\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-2\ln\left|1-\sqrt{x}\right|+C$

Imponemos por último la condición del enunciado.

$F(0)=0-0-0-2\ln1+C=C=0$

La primitiva pedida es $F(x)=-\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-2\ln\left|1-\sqrt{x}\right|$, cuya derivada devuelve el integrando de partida.

$\textbf{c) Calcule el valor de }\boldsymbol{x}\textbf{ para el cual }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ alcanza el valor máximo en }\boldsymbol{(1, \infty)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Derivamos la función como un cociente, teniendo en cuenta que la derivada de $\sqrt{x}$ es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x)=\dfrac{1\cdot\left(1-\sqrt{x}\right)-x\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{\left(1-\sqrt{x}\right)^{2}}=\dfrac{1-\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}}{\left(1-\sqrt{x}\right)^{2}}=\dfrac{2-\sqrt{x}}{2\left(1-\sqrt{x}\right)^{2}}$

El denominador es positivo en todo el intervalo, luego el signo lo decide el numerador.

$2-\sqrt{x}=0\Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$

Comprobamos el cambio de signo con un punto a cada lado: $f'(2{,}25)=\frac{2-1{,}5}{2(1-1{,}5)^{2}}>0$ y $f'(9)=\frac{2-3}{2(1-3)^{2}}<0$. La función crece antes de $x=4$ y decrece después, de modo que ahí hay un máximo.

$f(4)=\dfrac{4}{1-\sqrt{4}}=\dfrac{4}{1-2}=-4$



En el intervalo $(1,+\infty)$ la función alcanza su valor máximo en $x=4$, y ese máximo vale $f(4)=-4$.