Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x + a^2 & \text{si } x < 1 \\[4pt] \dfrac{\ln x}{x} + 4a & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

donde $a \in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Calcule los valores de $a$ para los cuales $f(x)$ es continua en todo su dominio. [0,75 puntos]

b) Calcule las asíntotas de $f(x)$, en función de $a$. [0,75 puntos]

c) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en todo su dominio. [0,75 puntos]}$

Cada trozo es continuo allí donde está definido: el primero es un polinomio y el segundo es un cociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula en $x\geq1$. El único punto dudoso es $x=1$, donde cambia la definición, así que basta con igualar los dos límites laterales al valor de la función.

$\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}\left(x^{2}+3x+a^{2}\right)=1+3+a^{2}=a^{2}+4$

$\lim_{x\to1^{+}}f(x)=f(1)=\dfrac{\ln1}{1}+4a=0+4a=4a$

Igualamos ambos resultados y resolvemos la ecuación de segundo grado que aparece.

$a^{2}+4=4a\Rightarrow a^{2}-4a+4=0\Rightarrow (a-2)^{2}=0\Rightarrow a=2$

La función es continua en todo su dominio, que es $\mathbb{R}$, únicamente para $a=2$; para cualquier otro valor de $a$ presenta en $x=1$ una discontinuidad de salto finito.

$\textbf{b) Calcule las asíntotas de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{, en función de }\boldsymbol{a}\textbf{. [0,75 puntos]}$

No hay asíntotas verticales: el dominio es todo $\mathbb{R}$ y en $x=1$, único punto conflictivo, los límites laterales son finitos, con lo que a lo sumo hay un salto. Estudiamos entonces el comportamiento en los dos extremos.

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(x^{2}+3x+a^{2}\right)=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}+4a\right)=0+4a=4a$

El límite en $+\infty$ es finito porque $x$ crece mucho más deprisa que $\ln x$; si se prefiere, se aplica la regla de L'Hôpital al cociente y queda $1/x\to0$. Para descartar la asíntota oblicua en $-\infty$ miramos la pendiente.

$m=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}+3x+a^{2}}{x}=-\infty$

Al no ser finita, esa rama no tiene asíntota oblicua sino una rama parabólica.

Sea cual sea el valor de $a$, la función tiene una única asíntota, la horizontal $y=4a$ cuando $x\to+\infty$, y una rama parabólica cuando $x\to-\infty$.

$\textbf{c) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Derivamos cada trozo por separado. Obsérvese que el parámetro desaparece al derivar, porque en ambos trozos entra como término constante: el crecimiento no depende de $a$.

$f'(x)=\begin{cases}2x+3&\text{si }x<1\\[4pt] \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}&\text{si }x>1\end{cases}$

En el primer trozo la derivada es una recta que se anula en $x=-\frac{3}{2}$, valor que sí pertenece a ese trozo.

$2x+3=0\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}$

En el segundo el denominador es un cuadrado y no cambia el signo, así que este lo marca el numerador.

$1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e$

Evaluamos la derivada en un punto de cada tramo: $f'(-2)=-1<0$, $f'(0)=3>0$, $f'(2)=\frac{1-\ln2}{4}>0$ y $f'(4)=\frac{1-\ln4}{16}<0$.



La función decrece en $(-\infty,-\frac{3}{2})$, crece en $(-\frac{3}{2},1)$ y en $(1,e)$, y vuelve a decrecer en $(e,+\infty)$. Hay un mínimo relativo en $x=-\frac{3}{2}$ y un máximo relativo en $x=e$. El punto $x=1$ se deja fuera porque ahí la función no es derivable; solo cuando $a=2$, que es el caso continuo del apartado a), los dos intervalos de crecimiento se funden en uno solo, $(-\frac{3}{2},e)$.